データの分析

あるパン屋で、$8$ 日間に売れたメロンパンの個数を調べたところ、次のようになった（単位は個）。$$12,7,15,9,7,20,11,7$$このデータの中央値を求めよ。

ある部の部員 $8$ 人が、先月図書室で借りた本の冊数を調べたところ、次のようになった（単位は冊）。
$$5,2,7,3,9,4,6,3$$
このデータの中央値を求めよ。

ある高校の生徒 $10$ 人がハンドボール投げを行った。記録は次の通りである（単位は m）。
$$18,25,21,16,30,22,19,27,24,20$$
このデータの中央値を求めよ。

5 人の生徒が先月読んだ本の冊数を調べたところ、次のようになった（単位は冊）。$$2,5,6,8,9$$ このデータの分散を求めよ。

ある $5$ 人の生徒が $10$ 点満点の小テストを受けたところ、得点は次のようになった。$$4,7,5,9,10(\text{点})$$このデータの分散を求めよ。

ある町の $5$ 日間の最高気温（単位は ${}^{\circ }\mathrm{C}$）を調べたところ、次のデータが得られた。
$$8,12,10,7,13$$
このデータの分散を求めよ。

ある店で、4 日間の最高気温 $x$（℃）と冷たい飲み物の販売数 $y$（本）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

ある店で、4 日間の最高気温 $x$（℃）と、その日に売れたアイスクリームの個数 $y$（個）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

ある店で、5 日間の最高気温 $x$（℃）と、温かい飲み物の売上本数 $y$（本）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

ある都市で、$7$ 日間の最高気温を摂氏（単位は ℃）で記録したデータを変量 $x$ とする。$x$ のデータの分散は $25$ であった。

この $7$ 日間の最高気温を華氏（単位は °F）で表した値を変量 $y$ とすると、
$$y=\frac{9}{5}x+32$$
が成り立つ。変量 $y$ のデータの分散を求めよ。

ある町で $7$ 日間、毎日正午の気温を摂氏（${}^{\circ }\mathrm{C}$）で測った。その値を変量 $x$ とすると、$x$ のデータの標準偏差は $5$ であった。

この気温を華氏（${}^{\circ }\mathrm{F}$）に直した値を変量 $y$ とすると、各日について
$$y=\frac{9}{5}x+32$$
が成り立つ。$y$ のデータの分散を求めよ。

ある地点で $10$ 日間、正午の気温を摂氏（単位 ${}^{\circ }\mathrm{C}$）で測った。その変量を $x$ とすると、$x$ のデータの平均値は $15$、分散は $4$ であった。

この気温を華氏（単位 ${}^{\circ }\mathrm{F}$）で表した変量を $y$ とすると、
$$y=\frac{9}{5}x+32$$
という関係がある。$y$ のデータの標準偏差を求めよ。

ある本屋で、ある雑誌が $8$ 日間に売れた冊数を調べたところ、次のデータが得られた。
$$12,5,9,15,7,20,11,3(\text{冊})$$
このデータの四分位範囲を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べ、中央値を第 $2$ 四分位数 $Q_2$ とする。中央値を境にデータを下位の半分と上位の半分に分け、下位の半分の中央値を第 $1$ 四分位数 $Q_1$、上位の半分の中央値を第 $3$ 四分位数 $Q_3$ とする。四分位範囲は $Q_3-Q_1$ である。

ある図書委員会の生徒 $10$ 人が、先月読んだ本の冊数を調べたところ、次のようになった。$$7,3,9,5,10,6,8,4,6,9(\text{冊})$$このデータの四分位範囲を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べ、中央値を第 $2$ 四分位数 $Q_2$ とする。データの個数が偶数のときは、小さい順に並べたデータを前半と後半の同じ個数ずつに分け、前半のデータの中央値を第 $1$ 四分位数 $Q_1$、後半のデータの中央値を第 $3$ 四分位数 $Q_3$ とする。

ある店の $10$ 日間の来客数（人）を調べたところ、次のようになった。
$$23,31,18,27,35,20,29,40,25,33$$
このデータの四分位範囲を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べ、中央値を第 $2$ 四分位数 $Q_2$ とする。中央値を境にデータを下位と上位の半分に分け（データの個数が奇数のときは中央値を除く）、下位のデータの中央値を第 $1$ 四分位数 $Q_1$、上位のデータの中央値を第 $3$ 四分位数 $Q_3$ とする。

ある班の $6$ 人の生徒が、先月読んだ本の冊数を調べた。冊数のデータは次のとおりである（単位は冊）。
$$2,5,8,11,13,x$$
ただし、$x$ は $0$ 以上の整数である。このデータの中央値が $9$ 冊であるとき、$x$ の値を求めよ。

ある店の $6$ 日間の来客数（単位は人）を調べたところ、次のようになった。
$$32,45,28,51,40,x$$
ただし、$x$ は正の整数である。このデータの中央値が $42$ 人であるとき、$x$ の値を求めよ。

6 人の生徒の通学時間を調べたところ、次のようになった（単位は分）。
$$4,7,9,12,15,x$$
ただし、$x$ は正の実数である。このデータの中央値が $10$ 分であるとき、$x$ の値を求めよ。

9 人の生徒が 1 か月に読んだ本の冊数を調べたところ、その平均値は $6$ 冊、分散は $4$ であった。ここに、1 か月に $16$ 冊読んだ生徒 1 人のデータを加えて、10 人のデータを作った。この 10 人のデータの分散を求めよ。

ある生徒が $10$ 点満点の小テストを $9$ 回受けた。$9$ 回の得点のデータの平均値は $5$ 点、分散は $4$ であった。その後、この生徒は $10$ 回目の小テストを受け、得点は $10$ 点であった。$10$ 回分の得点のデータの分散を求めよ。

ある図書委員会の生徒 $9$ 人について、先月読んだ本の冊数を調べた。$9$ 人の冊数のデータの平均値は $5$ 冊、分散は $10$ であった。後から委員がもう $1$ 人加わり、その生徒が先月読んだ本の冊数は $15$ 冊であった。この生徒を加えた $10$ 人の冊数のデータの分散を求めよ。

ある生徒がゲームを $5$ 回行ったときの得点は
$$5,8,9,a,b$$
であった。ただし、$a$, $b$ は $a<b$ を満たす実数である。このデータの平均値が $7$、分散が $2$ であるとき、$b$ の値を求めよ。

ある店で、ある商品の 5 日間の販売個数を調べたところ、次のようなデータになった。
$$4,6,7,a,b(\text{個})$$
ただし、$a$, $b$ は $a<b$ を満たす実数である。このデータの平均値が $6$ 個、分散が $6$ であるとき、$b$ の値を求めよ。

5 個の値からなるデータ
$$2,5,6,a,b$$
がある。ただし、$a$, $b$ は $a<b$ を満たす実数である。このデータの平均値が $5$、分散が $4$ であるとき、$b$ の値を求めよ。

次のデータは、ある 10 人の生徒の小テストの得点（点）である。
$$17,33,15,20,2,18,21,14,19,16$$
第 1 四分位数を $Q_1$、第 3 四分位数を $Q_3$ とする。$Q_1-1.5(Q_3-Q_1)$ より小さい値、または $Q_3+1.5(Q_3-Q_1)$ より大きい値を外れ値とするとき、このデータの中に外れ値はいくつあるか求めよ。

次のデータは、ある生徒 $11$ 人の 1 週間の家庭学習時間（単位：時間）である。
$$10,25,6,9,3,12,8,22,5,11,7$$
第 1 四分位数を $Q_1$、第 3 四分位数を $Q_3$ とする。$Q_1-1.5(Q_3-Q_1)$ 未満の値、または $Q_3+1.5(Q_3-Q_1)$ を超える値を外れ値とするとき、このデータの中にある外れ値の個数を求めよ。ただし、四分位数は、データを小さい順に並べたときの中央値を除いた下位 $5$ 個、上位 $5$ 個のそれぞれの中央値とする。

次のデータは、ある図書委員 $10$ 人が $1$ か月に読んだ本の冊数である。
$$8,25,5,11,3,9,12,6,10,7$$
このデータの第 $1$ 四分位数を $Q_1$、第 $3$ 四分位数を $Q_3$ とする。$Q_1-1.5(Q_3-Q_1)$ 未満の値、または $Q_3+1.5(Q_3-Q_1)$ を超える値を外れ値とするとき、このデータの $10$ 個の値のうち外れ値であるものは何個あるか求めよ。

ただし、四分位数は、データを小さい順に並べて前半 $5$ 個と後半 $5$ 個に分け、前半の中央値を $Q_1$、後半の中央値を $Q_3$ とする。

$5$ 個の値からなるデータ
$$2,4,6,8,x$$
がある。ただし、$x$ は実数である。$x$ がすべての実数の値をとって変わるとき、このデータの分散の最小値を求めよ。

$4$ 個の値からなるデータ
$$2,4,6,x$$
がある。ただし、$x$ は $0\leqq x\leqq 10$ を満たす実数である。このデータの分散の最大値を求めよ。

4 個の値からなるデータ
$$2,6,a,12-a$$
がある。ただし、$a$ は $1\leqq a\leqq 4$ を満たす実数である。このデータの分散の最大値を求めよ。

5 人の生徒 A, B, C, D, E に、数学と英語の小テスト（各 15 点満点）を行ったところ、得点は次のようになった。

変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

10 人の生徒が受けたテストの得点を $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ とする。これらについて
$$\sum _{k=1}^{10}{x}_k=620,\sum _{k=1}^{10}{x}_k^2=39160$$
が成り立っている。

定数 $a,b$（$a>0$）を用いて、各得点を $y_k=a{x}_k+b(k=1,2,\dots ,10)$ と変換したところ、変換後のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ の平均値は $50$、分散は $162$ になった。このとき、$b$ の値を求めよ。

あるクラスの生徒 $10$ 人を、グループ A の $6$ 人とグループ B の $4$ 人に分け、それぞれの通学時間（分）を調べた。グループ A の $6$ 人の通学時間の平均値は $15$、標準偏差は $2$ であった。グループ B の $4$ 人の通学時間の平均値は $20$、標準偏差は $3$ であった。このとき、$10$ 人全体の通学時間の標準偏差を求めよ。

8 人の生徒が 20 点満点の小テストを受けた。得点は次の通りである（単位は点）。
$$2,4,5,8,10,12,a,b$$
ただし、$a,b$ は 0 以上 20 以下の整数である。このデータの平均値は $7$ 点であり、最頻値はただ 1 つで、その値は $8$ 点である。このデータの中央値を求めよ。

ある 10 人のテストの得点を、A 組 6 人と B 組 4 人に分けて集計した。A 組 6 人の得点の平均値は $50$ 点、分散は $16$ であった。B 組 4 人の得点の平均値は $60$ 点、分散は $36$ であった。このとき、10 人全体の得点の標準偏差を求めよ。ただし、分散は偏差の 2 乗の平均値とする。

5 人の生徒 A, B, C, D, E について、1 週間の自宅学習時間 $x$（時間）と小テストの得点 $y$（点）を調べたところ、次の表のようになった。

変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

次の $8$ 個の値からなるデータがある。
$$3,5,6,9,12,15,a,b$$
ただし、$a,b$ は整数で $a\leqq b$ とする。このデータの最頻値はただ $1$ つで $9$ であり、中央値は $8$ である。このデータの平均値を求めよ。

ある図書委員会の生徒 20 人に、先月読んだ本の冊数を調べたところ、結果は次の度数分布表のようになった。ただし、$x,y$ は 0 以上の整数である。

冊数の平均値が $2.35$ 冊であるとき、冊数の中央値を求めよ。

8 組のデータ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_8,y_8)$ について、次のことがわかっている。
$$\sum _{i=1}^8{x}_i=40,\sum _{i=1}^8{y}_i=64,\sum _{i=1}^8{x}_i^2=232,\sum _{i=1}^8{y}_i^2=584,\sum _{i=1}^8{x}_i{y}_i=288$$

このとき、$x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

6 人の生徒が 1 日に解いた数学の問題数を調べたところ、次のようになった（単位は問）。
$$3,8,5,12,9,x$$
このデータの平均値が $7$ 問であるとき、このデータの標準偏差を求めよ。

変量 $x$ について $10$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、
$$x_1+x_2+\cdots +x_{10}=120,x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{10}^2=1600$$
であった。

定数 $a,b$（ただし $a<0$）を用いて、新しい変量 $y$ を $y=ax+b$ で定める。変量 $y$ のデータ $y_i=a{x}_i+b$ $(i=1,2,\dots ,10)$ の平均値が $40$、標準偏差が $8$ となるとき、定数 $b$ の値を求めよ。

5 人の生徒に 2 種類の小テストを行い、それぞれの得点を変量 $x$, $y$ として次の表にまとめた。ただし、$a$, $b$ は $a<b$ を満たす実数である。

変量 $y$ の平均値は $6$、分散は $6$ である。このとき、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。ただし、分散と共分散は、偏差の 2 乗の和や偏差の積の和をデータの個数 $5$ で割ったものとする。

変量 $x$ について $10$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_i=70,\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2=530$$
である。正の定数 $a$ と定数 $b$ を用いて $y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,10)$ と変換したところ、$y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ の平均値は $50$、分散は $100$ になった。

さらに $x_{11}=12$ とし、同じ式で $y_{11}=a{x}_{11}+b$ と定める。このとき、$11$ 個のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{11}$ の分散を求めよ。

ある 8 人の生徒が 10 点満点の小テストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $10$ 以下の整数で、そのうち 6 人の得点は
$$0,2,5,6,8,10$$
であった。残りの 2 人の得点を $a,b$ $(a\leqq b)$ とする。

この 8 人の得点のデータについて、最頻値がただ 1 つに定まり、さらに平均値・中央値・最頻値の 3 つがすべて等しくなった。このとき、積 $ab$ の値を求めよ。

20 個の値からなるデータがあり、その平均値は $50$、分散は $16$ であった。ところが後になって、このデータのうち 2 つの値に記録の誤りがあることがわかった。$42$ と記録されていた値は正しくは $52$、$58$ と記録されていた値は正しくは $48$ である。ほかの 18 個の値は正しく記録されている。正しいデータの標準偏差を求めよ。

10 個の値からなる変量 $x$ のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、その分散は $4$ である。正の定数 $a$ を用いて、新しい変量 $y$ を
$$y_i=a{x}_i+2(i=1,2,\dots ,10)$$
で定める。$y$ のデータの平均値は $17$ であり、$y_1^2,y_2^2,\dots ,y_{10}^2$ の平均値は $325$ であった。

このとき、$\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2$ の値を求めよ。

7 個の値からなるデータ
$$4,7,9,12,15,18,21$$
に、整数 $a$ $(1\leqq a\leqq 30)$ を 1 つ加えて、8 個の値からなるデータを作る。

この 8 個の値からなるデータの四分位範囲が $9$ 以下となるような整数 $a$ の個数を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べ、下位 4 個の値の中央値を第 1 四分位数 $Q_1$、上位 4 個の値の中央値を第 3 四分位数 $Q_3$ とし、四分位範囲は $Q_3-Q_1$ とする。

7 人の生徒が 10 点満点の小テストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $10$ 以下の整数であり、7 人の得点のデータについて次の 3 つの条件が成り立っていた。

• 平均値は $6$ 点である。
• 中央値は $7$ 点である。
• 最頻値はただ 1 つに定まり、その値は $8$ 点である。

7 人の得点を小さい順に並べたものを $x_1\leqq x_2\leqq \cdots \leqq x_7$ とするとき、組 $(x_1,x_2,\dots ,x_7)$ として考えられるものは何通りあるか求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの各整数 $k$ を、それぞれちょうど $k$ 個ずつ並べてできるデータ
$$1,2,2,3,3,3,\dots ,\underset{n\text{個}}{\underbrace{n,n,\dots ,n}}$$
を考える（値 $k$ がちょうど $k$ 個含まれ、データの大きさは $1+2+\cdots +n$ である）。

このデータの標準偏差が $10$ 以上となるような $n$ のうち、最小のものを求めよ。

40 人の生徒が 100 点満点のテストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $100$ 以下の実数で、40 人の得点のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{40}$ の平均値は $70$ 点であった。ただし、すべての得点が等しいことはないものとする。

この得点を、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて
$$y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,40)$$
と変換したところ、変換後のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{40}$ の平均値は $50$、標準偏差は $10$ になった。ただし、標準偏差は分散（データの各値と平均値の差の 2 乗の平均値）の正の平方根とする。得点のデータとしてありうるものすべてを考えるとき、$b$ のとりうる値の最大値を求めよ。

$1$ から $15$ までの整数の中から、異なる $5$ 個を選びます。選んだ $5$ 個の整数を $1$ つのデータとみなします。このデータの四分位範囲が $5$ となるような選び方は何通りあるか求めよ。

ただし、四分位数は次のように定めます。データを小さい順に並べ、中央値を境に下位と上位の $2$ つに分けます。データの個数が奇数のときは、中央値そのものはどちらにも含めません。下位の中央値を第 $1$ 四分位数、上位の中央値を第 $3$ 四分位数とします。

9 個の正の整数からなるデータがある。このデータは次の 3 つの条件をすべて満たす。

• 平均値は $10$ である。
• 中央値は $10$ である。
• 最頻値はただ 1 つに定まり、その値は $10$ である（$10$ の個数は、ほかのどの値の個数よりも多い）。

このデータの最大値としてとりうる値のうち、最も大きいものを求めよ。

7 個の値からなるデータ
$$3,6,8,11,14,x,y$$
がある。ただし、$x,y$ は $x\leqq y$ を満たす実数である。このデータの平均値は $9$、四分位範囲は $8$ である。このとき、このデータの分散がとりうる値の最大値を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたとき、中央値より小さい側の 3 個の値の中央値を第 1 四分位数 $Q_1$、中央値より大きい側の 3 個の値の中央値を第 3 四分位数 $Q_3$ とし、四分位範囲を $Q_3-Q_1$ とする。

A組 $20$ 人と B組 $30$ 人が同じテストを受けた。A組の得点の平均値は $50$ 点、分散は $100$ であり、B組の得点の平均値は $60$ 点、分散は $60$ であった。

A組の各生徒の得点 $x$ だけを、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて
$$y=ax+b$$
により $y$ に変換した。変換後の A組の得点 $y$ と、変換していない B組の得点を合わせた $50$ 人分のデータの平均値は $58$ 点、分散は $132$ となった。

A組で元の得点が $70$ 点であった生徒の、変換後の得点を求めよ。ただし、分散は偏差の $2$ 乗の平均値とする。

ある高校で、生徒 10 人に 2 種類のテストを行い、テスト 1 の得点を $x$、テスト 2 の得点を $y$ とした。10 人は、6 人のグループ A と 4 人のグループ B に分かれており、各グループの結果は次の通りであった。

• グループ A（6 人）: $x$ の平均値 $5$、$y$ の平均値 $6$、$x$ の標準偏差 $2$、$y$ の標準偏差 $2$、$x$ と $y$ の相関係数 $-0.5$
• グループ B（4 人）: $x$ の平均値 $10$、$y$ の平均値 $11$、$x$ の標準偏差 $2$、$y$ の標準偏差 $2$、$x$ と $y$ の相関係数 $-0.25$

ただし、分散・標準偏差・共分散は、いずれも偏差の積（または偏差の 2 乗）の総和をデータの個数で割ったものとする。

10 人全体のデータにおける $x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

8 個の値からなるデータ
$$2,5,8,10,13,17,a,b$$
がある。ただし、$a,b$ は $0\leqq a\leqq b\leqq 20$ を満たす整数とする。

このデータの四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたものを $x_1\leqq x_2\leqq \cdots \leqq x_8$ とする。前半 $x_1,\dots ,x_4$ の中央値を第 1 四分位数 $Q_1$、後半 $x_5,\dots ,x_8$ の中央値を第 3 四分位数 $Q_3$ とする。

このデータの四分位範囲 $Q_3-Q_1$ が $10$ となるような整数の組 $(a,b)$ の個数を求めよ。

$n$ 個の値からなるデータがあり、その平均値は $10$、標準偏差は $3$ である。このデータに $2$ つの値 $16,22$ を加えて、$n+2$ 個の値からなるデータを作ったところ、その標準偏差は $\frac{9}{2}$ になった。正の整数 $n$ の値を求めよ。

$n$ を $4$ 以上の整数とする。$n$ 個の値からなるデータ
$$1^2,2^2,3^2,\cdots ,n^2$$
について考える。四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べ、中央値を境に下位と上位の半分に分ける（$n$ が奇数のときは、中央値をどちらにも含めない）。下位の半分の中央値を第1四分位数 $Q_1$、上位の半分の中央値を第3四分位数 $Q_3$ とする。

このデータの四分位範囲 $Q_3-Q_1$ が $2000$ を超えるような $n$ のうち、最小のものを求めよ。

あるテストを A 組の生徒 $20$ 人と B 組の生徒 $30$ 人が受けた。A 組の得点 $x$ のデータは平均値 $44$、分散 $100$ であり、B 組の得点のデータは平均値 $70$、分散 $40$ であった。

採点基準をそろえるため、A 組の各生徒の得点 $x$ を、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて $y=ax+b$ に変換した。変換後の A 組 $20$ 人の得点 $y$ と、B 組 $30$ 人の得点（変換しない）を合わせた $50$ 人のデータは、平均値が $66$、分散が $138$ となった。

このとき、定数 $b$ の値を求めよ。

1 個のさいころを $7$ 回投げ、出た目を $7$ 個の値からなるデータとみなす。

このデータの四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたものを $x_1\leqq x_2\leqq \cdots \leqq x_7$ とし、中央値 $x_4$ を除いた下位 $3$ 個 $x_1,x_2,x_3$ の中央値を第 $1$ 四分位数、上位 $3$ 個 $x_5,x_6,x_7$ の中央値を第 $3$ 四分位数とする。四分位範囲は (第 $3$ 四分位数) $-$ (第 $1$ 四分位数) である。

このデータの四分位範囲が $1$ 以下となる確率を求めよ。

$6$ 人の生徒が小テストを受けた。得点はすべて $1$ 以上 $10$ 以下の整数である。この $6$ 人の得点のデータは、次の $3$ つの条件をすべて満たしていた。

• 平均値は $\frac{13}{2}$ である。
• 中央値は $6$ である。
• 最頻値はただ $1$ つに定まり、その値は $6$ である（すなわち、$6$ の個数は他のどの値の個数よりも多い）。

得点のデータとして考えられるものは何通りあるか求めよ。ただし、生徒の区別はせず、$6$ 個の得点の値の組（小さい順に並べたもの）が異なるものを異なるデータとして数える。

$2$ つの変量 $x,y$ について、$10$ 個のデータの組 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_{10},y_{10})$ があり、
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_i=50,\sum _{i=1}^{10}{y}_i=80,\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2=290,\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=730,\sum _{i=1}^{10}{x}_i{y}_i=380$$
であった。

実数 $t$ に対し、新しい変量 $w$ を $w=x+ty$ で定める（すなわち $w_i=x_i+t{y}_i$）。$w$ の分散が最小となるように $t$ を定めたとき、変量 $x$ と変量 $w$ の相関係数を求めよ。

$5$ 個の実数からなるデータ $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ があり、各値は $0\leqq x_i\leqq 10$ $(i=1,2,3,4,5)$ を満たし、平均値は $\frac{18}{5}$ である。

このようなデータ全体を考えるとき、データの標準偏差の最大値を求めよ。

$9$ 個の実数からなるデータ $x_1,x_2,\dots ,x_9$ があり、その平均値は $50$、標準偏差は $4$ である。

このデータの四分位範囲としてとりうる値の最大値を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたとき、中央値（小さい方から $5$ 番目の値）より小さい側の $4$ 個の値の中央値を第 $1$ 四分位数、大きい側の $4$ 個の値の中央値を第 $3$ 四分位数とし、四分位範囲は（第 $3$ 四分位数）$-$（第 $1$ 四分位数）とする。また、分散は偏差の $2$ 乗の平均値、標準偏差は分散の正の平方根とする。

$20$ 個の整数からなるデータがある。どの整数についても、その整数と等しい値はこのデータの中に $3$ 個以下しか含まれない。このとき、このデータの分散として考えられる値の最小値を求めよ。

ただし、データ $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の平均値を $\overline{x}$ とするとき、分散は $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$ で定める。

$1$ から $9$ までの整数を $1$ 回ずつ並べた列 $a_1,a_2,\dots ,a_9$ が、すべての $i=1,2,\dots ,9$ について $a_i\ne i$ を満たしている。$2$ つの変量 $x,y$ の $9$ 個のデータの組を
$$(x_i,y_i)=(i,a_i)(i=1,2,\dots ,9)$$
とするとき、$x$ と $y$ の相関係数として考えられる値の最大値を求めよ。