データの分析の問題

もとのデータを $x_1,x_2,\dots ,x_n$ とする。各値から $10$ を引いた $y_k=x_k-10(k=1,2,\dots ,n)$ を考える。どの値からも同じ数を引いても分散は変わらないので、$y$ で計算してよい。

平均値が $10$ であるから、$y_1,\dots ,y_n$ の平均値は $0$ であり
$$\sum _{k=1}^n{y}_k=0$$
である。分散が $3^2=9$ であり、$y$ の平均値が $0$ であるから
$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{y}_k^2-0^2=9\text{より}\sum _{k=1}^n{y}_k^2=9n$$
である。

加える値 $16,22$ から $10$ を引くと $6,12$ である。よって $n+2$ 個のデータ（$10$ を引いたもの）について
$$\text{総和}=0+6+12=18,\text{2乗の総和}=9n+36+144=9n+180$$
となる。分散は「2乗の平均値 $-$ 平均値の2乗」なので、新しいデータの分散は
$$\frac{9n+180}{n+2}-{\left(\frac{18}{n+2}\right)}^2$$
である。これが ${\left(\frac{9}{2}\right)}^2=\frac{81}{4}$ に等しいので
$$\frac{9n+180}{n+2}-\frac{324}{(n+2{)}^2}=\frac{81}{4}.$$
両辺に $4(n+2{)}^2$ を掛けると
$$4(9n+180)(n+2)-4\cdot 324=81(n+2{)}^2.$$
左辺は
$$4(9n^2+198n+360)-1296=36n^2+792n+144,$$
右辺は
$$81(n^2+4n+4)=81n^2+324n+324.$$
よって
$$45n^2-468n+180=0.$$
両辺を $9$ で割って
$$5n^2-52n+20=0⟺(n-10)(5n-2)=0.$$
したがって $n=10$ または $n=\frac{2}{5}$ であり、$n$ は正の整数なので $n=10$ である。

（確認）$n=10$ のとき、もとのデータの総和は $100$、2乗の総和は $10\times (9+100)=1090$。新しいデータは $12$ 個で、総和 $138$、2乗の総和 $1090+256+484=1830$。平均値は $11.5$、分散は $\frac{1830}{12}-11.5^2=152.5-132.25=20.25=\frac{81}{4}$ となり、標準偏差は $\frac{9}{2}$ で条件を満たす。

答え: $n=10$

元のデータについて、平均が $10$、分散が $3^2=9$ なので、$x$ の2乗の総和は $n(9+10^2)=109n$、総和は $10n$ である。
2つの値 $16,22$ を加えると、総和は $10n+38$、2乗の総和は $109n+256+484=109n+740$ になる。
新しいデータの分散は
$\frac{109n+740}{n+2}-{\left(\frac{10n+38}{n+2}\right)}^2=\frac{(109n+740)(n+2)-(10n+38{)}^2}{(n+2{)}^2}$
分子は $(109n^2+958n+1480)-(100n^2+760n+1444)=9n^2+198n+36$ となる。
標準偏差が $\frac{9}{2}$ なので分散は $\frac{81}{4}$。よって
$4(9n^2+198n+36)=81(n+2{)}^2$
$36n^2+792n+144=81n^2+324n+324$
$45n^2-468n+180=0$
$5n^2-52n+20=0$
$(n-10)(5n-2)=0$
$n$ は正の整数なので $n=10$。
検算: $n=10$ のとき、2乗の総和は $1830$、総和は $138$。分散は $\frac{1830}{12}-{\left(\frac{138}{12}\right)}^2=152.5-132.25=20.25=\frac{81}{4}$ となり条件に合う。