データの分析の問題

データを小さい順に並べ替えたものを改めて $x_1\leqq x_2\leqq \cdots \leqq x_9$ とし、偏差を $y_i=x_i-50$ $(i=1,2,\dots ,9)$ とおく。$y_1\leqq y_2\leqq \cdots \leqq y_9$ であり、分散が $4^2=16$ なので
$$y_1^2+y_2^2+\cdots +y_9^2=9\times 16=144(1)$$
である。

第 $1$ 四分位数は $\frac{x_2+x_3}{2}$、第 $3$ 四分位数は $\frac{x_7+x_8}{2}$ なので、四分位範囲 $D$ は
$$D=\frac{(x_8-x_2)+(x_7-x_3)}{2}=\frac{(y_8-y_2)+(y_7-y_3)}{2}$$
である。$p=y_8-y_2$, $q=y_7-y_3$ とおくと $p\geqq 0$, $q\geqq 0$, $p+q=2D$ である。

不等式の準備. 任意の実数 $u,v$ について
$$2(u^2+v^2)-(v-u{)}^2=(u+v{)}^2\geqq 0$$
より $u^2+v^2\geqq \frac{(v-u{)}^2}{2}$ が成り立つ。

これを $3$ つの組 $(y_1,y_9)$, $(y_2,y_8)$, $(y_3,y_7)$ に使い、残りの $y_4^2+y_5^2+y_6^2\geqq 0$ と合わせると、$(1)$ より
$$144\geqq \frac{(y_9-y_1{)}^2+p^2+q^2}{2}(2)$$
ここで $y_9\geqq y_8\geqq y_7$, $y_1\leqq y_2\leqq y_3$ より、$y_9-y_1\geqq p$ かつ $y_9-y_1\geqq q$ である。$p,q$ の大きい方を $M$ とすると $M\geqq \frac{p+q}{2}=D\geqq 0$ なので $(y_9-y_1{)}^2\geqq M^2\geqq D^2$。また
$$p^2+q^2=\frac{(p+q{)}^2+(p-q{)}^2}{2}\geqq \frac{(p+q{)}^2}{2}=2D^2$$
である。よって $(2)$ から
$$144\geqq \frac{D^2+2D^2}{2}=\frac{3}{2}{D}^2\text{すなわち}{D}^2\leqq 96$$
$D\geqq 0$ より $D\leqq \sqrt{96}=4\sqrt{6}$ である。

等号が成り立つ例. 等号が成り立つのは、$y_4=y_5=y_6=0$、各組で $u+v=0$、$p=q$、$y_9-y_1=p$ のときである。例えば
$$y_1=y_2=y_3=-2\sqrt{6},y_4=y_5=y_6=0,y_7=y_8=y_9=2\sqrt{6}$$
とすると、偏差の和は $0$（平均値 $50$）、偏差の $2$ 乗の和は $6\times 24=144$（標準偏差 $4$）で条件を満たす。このとき第 $1$ 四分位数は $50-2\sqrt{6}$、第 $3$ 四分位数は $50+2\sqrt{6}$ で、四分位範囲は $4\sqrt{6}$ となる。

以上より、四分位範囲の最大値は $4\sqrt{6}$ である。

小さい順に並べた値を $y_1\leqq y_2\leqq \cdots \leqq y_9$ とし、$d_i=y_i-50$ とおく。平均値が 50 なので $\sum d_i=0$、標準偏差が 4 なので分散は 16 で $\sum d_i^2=9\cdot 16=144$。
第 1 四分位数は $\frac{y_2+y_3}{2}$、第 3 四分位数は $\frac{y_7+y_8}{2}$ なので、四分位範囲は $\frac{d_7+d_8-d_2-d_3}{2}$。

(最大値の候補) $d_1=d_2=d_3=-c,d_4=d_5=d_6=0,d_7=d_8=d_9=c$ とする。$\sum d_i=0$、$\sum d_i^2=6c^2=144$ より $c^2=24$、$c=2\sqrt{6}$。このとき四分位範囲は $\frac{2c+2c}{2}=2c=4\sqrt{6}$。

(これが最大であること) 上の不等式の制約は次のとおり: $\sum d_i=0$, $\sum d_i^2\leqq 144$, $d_1\leqq d_2\leqq \cdots \leqq d_9$。これらは凸な集合をつくり、目的関数 $\frac{d_7+d_8-d_2-d_3}{2}$ は 1 次式なので、候補が最大であることはラグランジュの未定乗数法（KKT 条件）で確かめられる。候補の点で、$\lambda =\frac{1}{12c}$（$2\lambda c=\frac{1}{3}$）、$\sum d_i=0$ の乗数 $0$、等号になっている順序制約 $d_1=d_2,d_2=d_3,d_4=d_5,d_5=d_6,d_7=d_8,d_8=d_9$ の乗数をそれぞれ $\frac{1}{3},\frac{1}{6},0,0,\frac{1}{6},\frac{1}{3}$ とすれば、各 $d_i$ についての勾配の釣り合いがすべて成り立ち、乗数はすべて 0 以上である。よって候補は最大値を与える。

(別の見方で確認) $d_1=d_2=d_3=-p,d_7=d_8=d_9=q,d_4=d_5=d_6=p-q$ とおくと、$p^2-pq+q^2=24$、四分位範囲は $p+q$。$(p+q{)}^2=24+3pq\leqq 24+3\cdot \frac{(p+q{)}^2}{4}$ より $(p+q{)}^2\leqq 96$、$p+q\leqq 4\sqrt{6}$。等号は $p=q$ のとき。

検算: データ $50\pm 2\sqrt{6}$ を各 3 個、$50$ を 3 個とすると、平均 50、分散 $\frac{6\cdot 24}{9}=16$、標準偏差 4。四分位数は $50-2\sqrt{6}$ と $50+2\sqrt{6}$ で、四分位範囲は $4\sqrt{6}\approx 9.80$。

よって最大値は $4\sqrt{6}$。