データの分析の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学I データの分析

8 個の値からなるデータ
$2, 5, 8, 10, 13, 17, a, b$
がある。ただし、 $a, b$ は $0 ≦ a ≦ b ≦ 20$ を満たす整数とする。

このデータの四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたものを $x_{1} ≦ x_{2} ≦ \dots ≦ x_{8}$ とする。前半 $x_{1}, \dots, x_{4}$ の中央値を第 1 四分位数 $Q_{1}$ 、後半 $x_{5}, \dots, x_{8}$ の中央値を第 3 四分位数 $Q_{3}$ とする。

このデータの四分位範囲 $Q_{3} - Q_{1}$ が $10$ となるような整数の組 $(a, b)$ の個数を求めよ。

この問題で使うもの

四分位数と四分位範囲（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

8 個のデータでは $Q_{1}$ は小さい方から 2 番目と 3 番目の平均、 $Q_{3}$ は大きい方から 2 番目と 3 番目の平均です。 $a$ と $b$ が既知の値のどの間に入るかで場合分けしましょう。

ヒント 2

$S = x_{2} + x_{3}$ 、 $L = x_{6} + x_{7}$ とおくと、条件は $L - S = 20$ です。 $S$ は主に $a$ の位置で決まり（ $b ≧ 5$ なら $a ≦ 2$ で $7$ 、 $3 ≦ a ≦ 8$ で $a + 5$ 、 $a ≧ 9$ で $13$ ）、 $L$ は主に $b$ の位置で決まります（ $b ≦ 10$ で $23$ 、 $13 ≦ b ≦ 16$ で $b + max (a, 13)$ など）。

ヒント 3

$b ≦ 10$ では $L = 23$ なので $S = 3$ が必要で、 $(0, 1), (1, 1)$ の 2 個です。 $11 ≦ b ≦ 12$ では解はありません。残りは $13 ≦ b ≦ 16$ と $17 ≦ b ≦ 20$ の場合を、 $a$ の範囲ごとに数えましょう。

答えと解説

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解説を読む

小さい順に並べたものを $x_{1} ≦ \dots ≦ x_{8}$ とすると
$Q_{1} = \frac{x _{2} + x _{3}}{2}, Q_{3} = \frac{x _{6} + x _{7}}{2}$
である。 $S = x_{2} + x_{3}$ （小さい方から 2 番目と 3 番目の和）、 $L = x_{6} + x_{7}$ （大きい方から 2 番目と 3 番目の和）とおく。条件 $Q_{3} - Q_{1} = 10$ は
$L - S = 20$
と同じである。

$S$ の値

$b ≦ 4$ のとき、次のようになる。
- $a ≦ 2$ なら、小さい順に $a, min (b, 2), max (b, 2), \dots$ と並ぶので $S = b + 2$ 。
- $a ≧ 3$ なら $S = a + b ≧ 6$ 。

$b ≧ 5$ のとき、次のようになる。
- $a ≦ 2$ なら、小さい順に $a, 2, 5, \dots$ と並ぶので $S = 2 + 5 = 7$ 。
- $3 ≦ a ≦ 8$ なら、 $2$ 番目と $3$ 番目は $a$ と $5$ なので $S = a + 5$ 。
- $a ≧ 9$ なら、小さい順に $2, 5, 8, \dots$ と並ぶので $S = 13$ 。

したがって $b ≧ 5$ のときは常に $S ≧ 7$ である。

$L$ の値（ $a ≦ b$ に注意する）
- $b ≦ 10$ のとき、大きい順に $17, 13, 10, \dots$ と並ぶので $L = 23$ 。
- $11 ≦ b ≦ 12$ のとき、大きい順に $17, 13, b, \dots$ と並ぶので $L = 13 + b$ 。
- $13 ≦ b ≦ 16$ のとき、大きい順に $17, b, max (a, 13), \dots$ と並ぶので $L = b + max (a, 13)$ 。
- $17 ≦ b ≦ 20$ のとき、大きい順に $b, max (a, 17), \dots$ と並ぶので $L = 17 + max (a, 13)$ 。

最後の式は、 $a ≧ 17$ なら $a + 17$ 、 $a < 17$ なら $17 + max (a, 13)$ となることから、まとめて書ける。

場合分けによる数え上げ

(i) $b ≦ 10$ のとき

$L = 23$ なので $S = 3$ が必要である。 $b ≧ 5$ なら $S ≧ 7$ なので不適。よって $b ≦ 4$ である。 $a ≧ 3$ なら $S ≧ 6$ で不適。 $a ≦ 2$ なら $b + 2 = 3$ より $b = 1$ で、 $a ≦ b$ から $a = 0, 1$ 。よって $(0, 1), (1, 1)$ の $2$ 個。

(ii) $11 ≦ b ≦ 12$ のとき

$S = L - 20 = b - 7 ≦ 5$ が必要だが、 $b ≧ 5$ より $S ≧ 7$ なので $0$ 個。

(iii) $13 ≦ b ≦ 16$ のとき
- $a ≦ 2$ ： $(b + 13) - 7 = 20$ より $b = 14$ 。 $a = 0, 1, 2$ の $3$ 個。
- $3 ≦ a ≦ 8$ ： $(b + 13) - (a + 5) = 20$ より $b = a + 12$ 。 $b ≦ 16$ から $a ≦ 4$ なので、 $(3, 15), (4, 16)$ の $2$ 個。
- $9 ≦ a ≦ 12$ ： $(b + 13) - 13 = 20$ より $b = 20$ となり不適。
- $13 ≦ a ≦ b$ ： $(a + b) - 13 = 20$ より $a + b = 33$ だが、 $a + b ≦ 32$ なので不適。

よって $5$ 個。

(iv) $17 ≦ b ≦ 20$ のとき
- $a ≦ 2$ ： $L - S = 30 - 7 = 23$ となり不適。
- $3 ≦ a ≦ 8$ ： $30 - (a + 5) = 20$ より $a = 5$ 。 $b = 17, 18, 19, 20$ の $4$ 個。
- $9 ≦ a ≦ 12$ ： $L - S = 30 - 13 = 17$ となり不適。
- $13 ≦ a ≦ b$ ： $(17 + a) - 13 = 20$ より $a = 16$ 。 $b = 17, 18, 19, 20$ の $4$ 個。

よって $8$ 個。

合計

$2 + 0 + 5 + 8 = 15$

（確認： $(a, b) = (5, 20)$ のとき、データは $2, 5, 5, 8, 10, 13, 17, 20$ となる。 $Q_{1} = 5$ 、 $Q_{3} = 15$ で、四分位範囲は $10$ になる。）

答え： $15$ 個

別解

小さい順に並べたとき $Q_{1} = \frac{x _{2} + x _{3}}{2}$ 、 $Q_{3} = \frac{x _{6} + x _{7}}{2}$ なので、 $Q_{3} - Q_{1} = 10$ は $(x_{6} + x_{7}) - (x_{2} + x_{3}) = 20$ と同値。固定された値 $2, 5, 8, 10, 13, 17$ に $a \leq b$ を加えて場合分けする。

下側 $L = x_{2} + x_{3}$ :
- $a \leq 2$ のとき $L = 2 + min (b, 5)$
- $2 \leq a \leq 5$ のとき $L = a + min (b, 5)$
- $a \geq 5$ のとき $L = 5 + min (a, 8)$

上側 $U = x_{6} + x_{7}$ :
- $b \leq 10$ のとき $U = 23$
- $10 \leq b \leq 13$ のとき $U = 13 + b$
- $13 \leq b \leq 17$ のとき $U = b + max (a, 13)$
- $b \geq 17$ のとき $U = 17 + min (max (a, 13), 17)$

$U - L = 20$ となる組を数える。

1. $b \leq 10$ : $L = 3$ が必要。 $a \leq 2$ で $2 + min (b, 5) = 3$ より $b = 1$ 。よって $(0, 1), (1, 1)$ の 2 組。
2. $b = 11, 12, 13$ : $L = b - 7 \leq 6$ が必要だが $L \geq 7$ なので該当なし。
3. $b = 14, \dots, 17$ :
- $a \leq 13$ のとき $U = b + 13$ 、 $L = b - 7$ 。 $a \leq 2$ では $L = 7$ より $b = 14$ で $(0, 14), (1, 14), (2, 14)$ 。 $3 \leq a \leq 5$ では $L = a + 5 = b - 7$ より $(3, 15), (4, 16), (5, 17)$ 。 $a \geq 6$ では該当なし。
- $a \geq 14$ のとき $L = 13$ 、 $U = a + b = 33$ より $(16, 17)$ 。
- 合計 7 組。
4. $b = 18, 19, 20$ : $U = 17 + min (max (a, 13), 17)$ 。 $L = 10$ ( $a = 5$ )のとき $U = 30$ で成立。 $L = 13$ ( $a \geq 8$ )のとき $U = 33$ で $a = 16$ 。よって $a = 5$ と $a = 16$ のそれぞれが $b = 18, 19, 20$ で成立し、6 組。

合計は $2 + 7 + 6 = 15$ 。

検算:
- $(5, 17)$ : $Q_{1} = 5, Q_{3} = 15$
- $(16, 17)$ : $Q_{1} = 6.5, Q_{3} = 16.5$
- $(0, 1)$ : $Q_{1} = 1.5, Q_{3} = 11.5$
- $(5, 18)$ : $Q_{1} = 5, Q_{3} = 15$

いずれも差は 10 になる。

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