データの分析の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学I データの分析

7 個の値からなるデータ
$3, 6, 8, 11, 14, x, y$
がある。ただし、 $x, y$ は $x ≦ y$ を満たす実数である。このデータの平均値は $9$ 、四分位範囲は $8$ である。このとき、このデータの分散がとりうる値の最大値を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたとき、中央値より小さい側の 3 個の値の中央値を第 1 四分位数 $Q_{1}$ 、中央値より大きい側の 3 個の値の中央値を第 3 四分位数 $Q_{3}$ とし、四分位範囲を $Q_{3} - Q_{1}$ とする。

この問題で使うもの

代表値（平均値・中央値・最頻値）（説明と入口の問題）
分散と標準偏差（説明と入口の問題）
四分位数と四分位範囲（説明と入口の問題）
代表値の条件を満たすデータの決定（説明と入口の問題）
分散の最大・最小（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（35 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず平均値の条件から $y$ を $x$ で表しましょう。そのうえで、7 個のデータでは $Q_{1}$ が小さい方から 2 番目の値、 $Q_{3}$ が大きい方から 2 番目の値になることを使います。

ヒント 2

$y = 21 - x$ と $x ≦ \frac{21}{2}$ から、 $x$ が $3, 6, 7, 10$ のどこにあるかで $Q_{1}, Q_{3}$ が変わります。 $x$ の範囲で場合分けして、四分位範囲が $8$ になる $x$ の範囲を求めましょう。

ヒント 3

場合分けをすると、条件を満たすのは $6 ≦ x ≦ 7$ です。分散は $\frac{426 + x ^{2} + ( 21 - x ) ^{2}}{7} - 81$ と表せるので、この範囲での最大値を考えます。

答えと解説

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\frac{120}{7}

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平均値の条件

$3 + 6 + 8 + 11 + 14 = 42$ なので、平均値が $9$ であることから
$42 + x + y = 63 すなわち y = 21 - x$
である。 $x ≦ y$ より $x ≦ 21 - x$ 、つまり $x ≦ \frac{21}{2}$ であり、このとき $y ≧ \frac{21}{2}$ である。

四分位数の表し方

データを小さい順に $d_{1} ≦ d_{2} ≦ \dots ≦ d_{7}$ と並べると、中央値は $d_{4}$ である。下側の 3 個は $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ なので $Q_{1} = d_{2}$ 、上側の 3 個は $d_{5}, d_{6}, d_{7}$ なので $Q_{3} = d_{6}$ である。 $d_{2}$ は小さい方から 2 番目の値、 $d_{6}$ は大きい方から 2 番目の値である。

$x$ の値で場合分けする

(i) $x < 3$ のとき： $y = 21 - x > 18$ 。小さい方から $x, 3, 6, \dots$ と並ぶので $d_{2} = 3$ 。大きい方は $y, 14, \dots$ なので $d_{6} = 14$ 。四分位範囲は $14 - 3 = 11$ となり、不適。

(ii) $3 ≦ x < 6$ のとき： $y = 21 - x$ は $15 < y ≦ 18$ 。小さい方から $3, x, 6, \dots$ なので $d_{2} = x$ 。 $y > 14$ なので $d_{6} = 14$ 。四分位範囲は $14 - x = 8$ より $x = 6$ となるが、これは $x < 6$ に反するので不適。

(iii) $6 ≦ x ≦ 7$ のとき： $14 ≦ y ≦ 15$ 。小さい方から $3, 6, x, 8, \dots$ なので $d_{2} = 6$ 。 $y ≧ 14$ で他の値はすべて $11$ 以下なので、大きい方から $y, 14$ と並び $d_{6} = 14$ 。四分位範囲は $14 - 6 = 8$ となり、条件を満たす。

(iv) $7 < x ≦ 10$ のとき： $11 ≦ y < 14$ 。 $x > 6$ なので $d_{2} = 6$ 。最大値は $14$ 、2 番目に大きいのは $y$ （ $y ≧ 11$ かつ $y ≧ x$ ）なので $d_{6} = y$ 。四分位範囲は $y - 6 = 15 - x$ であり、 $7 < x ≦ 10$ では $5 ≦ 15 - x < 8$ となって $8$ にならない。不適。

(v) $10 < x ≦ \frac{21}{2}$ のとき： $\frac{21}{2} ≦ y < 11$ 。 $d_{2} = 6$ 。最大値は $14$ 、2 番目に大きいのは $11$ なので $d_{6} = 11$ 。四分位範囲は $11 - 6 = 5$ となり、不適。

以上より、条件を満たすのは $6 ≦ x ≦ 7, y = 21 - x$ のときである。

分散を $x$ で表す

分散は (2 乗の平均値) $-$ (平均値の 2 乗) で求められる。
$3^{2} + 6^{2} + 8^{2} + 1 1^{2} + 1 4^{2} = 9 + 36 + 64 + 121 + 196 = 426$
なので、分散 $s^{2}$ は
$s^{2} = \frac{426 + x ^{2} + ( 21 - x ) ^{2}}{7} - 81$
である。ここで
$x^{2} + (21 - x)^{2} = 2 x^{2} - 42 x + 441 = 2 (x - \frac{21}{2})^{2} + \frac{441}{2}$
であり、これは $x ≦ \frac{21}{2}$ の範囲で減少する。したがって $6 ≦ x ≦ 7$ では $x = 6$ のとき最大となり、その値は $36 + 225 = 261$ である。

このとき
$s^{2} = \frac{426 + 261}{7} - 81 = \frac{687 - 567}{7} = \frac{120}{7}$
である。

(検算) $x = 6, y = 15$ のとき、データは $3, 6, 6, 8, 11, 14, 15$ である。平均値 $9$ からの偏差は $- 6, - 3, - 3, - 1, 2, 5, 6$ で、その 2 乗の和は $36 + 9 + 9 + 1 + 4 + 25 + 36 = 120$ となる。よって分散は $\frac{120}{7}$ で一致する。また $Q_{1} = 6, Q_{3} = 14$ より、四分位範囲は $8$ である。

したがって、分散の最大値は $\frac{120}{7}$ である。

別解

平均値が 9 なので総和は 63 であり、 $3 + 6 + 8 + 11 + 14 = 42$ より $x + y = 21$ となる。 $x \leq y$ から $x \leq 10.5$ 、 $y \geq 10.5$ である。

小さい順に並べたとき、 $Q_{1}$ は小さい方から 2 番目、 $Q_{3}$ は 6 番目(大きい方から 2 番目)の値である。 $Q_{3} - Q_{1} = 8$ となる $x$ の範囲を場合分けする。

・ $x \leq 3$ : $y \geq 18$ で並びは $x, 3, 6, 8, 11, 14, y$ 。 $Q_{1} = 3, Q_{3} = 14$ で四分位範囲は 11 となり不適。
・ $3 < x \leq 6$ :並びは $3, x, 6, 8, 11, 14, y$ ( $y \geq 15$ )。 $Q_{1} = x, Q_{3} = 14$ より $14 - x = 8$ で $x = 6, y = 15$ 。
・ $6 < x \leq 7$ : $y = 21 - x \geq 14$ で並びは $3, 6, x, 8, 11, 14, y$ 。 $Q_{1} = 6, Q_{3} = 14$ となり四分位範囲は 8 で適する。
・ $7 < x \leq 8$ : $13 \leq y < 14$ で並びは $3, 6, x, 8, 11, y, 14$ 。 $Q_{3} = y$ で $y - 6 = 8$ より $y = 14$ となり、 $y < 14$ と矛盾する。
・ $8 < x \leq 10.5$ : $10.5 \leq y < 13$ 。最大値は 14 で、 $Q_{3} = max (11, y) < 14$ である。 $Q_{1} = 6$ なので $Q_{3} = 14$ が必要となり不適。

よって $6 \leq x \leq 7, y = 21 - x$ である。

分散 $= \frac{2 乗和}{7} - 81$ で、2乗和は $9 + 36 + 64 + 121 + 196 + x^{2} + (21 - x)^{2} = 426 + x^{2} + (21 - x)^{2}$ 。
$x^{2} + (21 - x)^{2}$ は下に凸の関数なので、区間 $[6, 7]$ の端で最大になる。 $x = 6$ のとき $36 + 225 = 261$ 、 $x = 7$ のとき $49 + 196 = 245$ なので、 $x = 6$ で最大である。

このとき 2乗和は $426 + 261 = 687$ 。分散は $\frac{687}{7} - 81 = \frac{687 - 567}{7} = \frac{120}{7}$ 。

検算:データは $3, 6, 6, 8, 11, 14, 15$ 。和は 63 で平均は 9。 $Q_{1} = 6, Q_{3} = 14$ で四分位範囲は 8。偏差の2乗和は $36 + 9 + 9 + 1 + 4 + 25 + 36 = 120$ なので分散は $120/7$ で一致する。

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