データの分析の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学I データの分析

1 個のさいころを $7$ 回投げ、出た目を $7$ 個の値からなるデータとみなす。

このデータの四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたものを $x_{1} ≦ x_{2} ≦ \dots ≦ x_{7}$ とし、中央値 $x_{4}$ を除いた下位 $3$ 個 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ の中央値を第 $1$ 四分位数、上位 $3$ 個 $x_{5}, x_{6}, x_{7}$ の中央値を第 $3$ 四分位数とする。四分位範囲は (第 $3$ 四分位数) $-$ (第 $1$ 四分位数) である。

このデータの四分位範囲が $1$ 以下となる確率を求めよ。

この問題で使うもの

四分位数と四分位範囲（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$7$ 個のデータでは第 $1$ 四分位数は $x_{2}$ 、第 $3$ 四分位数は $x_{6}$ です。四分位範囲が $0$ の場合と $1$ の場合に分けて、目の出方（順序も区別）を数えましょう。

ヒント 2

$x_{2} = v$ となるには、 $v$ より小さい目が高々 $1$ 個でなければなりません。同様に $x_{6}$ より大きい目も高々 $1$ 個です。端に外れる目の個数 $a, c \in {0, 1}$ で場合分けしましょう。

ヒント 3

四分位範囲が $0$ となる出方は $1056$ 通りです。四分位範囲が $1$ のときは $x_{2} = v, x_{6} = v + 1$ として、 $v$ と $v + 1$ の個数の条件（ $x_{2} = v$ と $x_{6} = v + 1$ を満たす範囲）を調べて数えます。

答えと解説

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\frac{919}{11664}

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解説を読む

定義より、第 $1$ 四分位数は $x_{2}$ 、第 $3$ 四分位数は $x_{6}$ であるから、四分位範囲は $x_{6} - x_{2}$ である。目の出方は全部で $6^{7} = 279936$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

以下、 $x_{2} = v$ とし、 $v$ より小さい目の個数を $a$ 、( $x_{6}$ より) 大きい側の値の個数を $c$ とおいて数える。 $x_{2} = v$ であるためには $v$ より小さい目は高々 $1$ 個（ $a ≦ 1$ ）でなければならない。同様に $x_{6}$ より大きい目も高々 $1$ 個（ $c ≦ 1$ ）である。

(i) 四分位範囲が $0$ のとき（ $x_{2} = x_{6} = v$ ）

$v$ より小さい目が $a$ 個、 $v$ より大きい目が $c$ 個 ( $a, c \in {0, 1}$ )、残りはすべて $v$ である。
- $a = 0, c = 0$ ：すべて $v$ 。 $1$ 通り。
- $a = 1, c = 0$ ：小さい目の位置が $7$ 通り、値が $v - 1$ 通りで $7 (v - 1)$ 通り。
- $a = 0, c = 1$ ：同様に $7 (6 - v)$ 通り。
- $a = 1, c = 1$ ：位置が $7 \cdot 6$ 通り、値が $(v - 1) (6 - v)$ 通りで $42 (v - 1) (6 - v)$ 通り。

$v = 1, 2, \dots, 6$ で和をとると、 $\sum (v - 1) = 15$ , $\sum (6 - v) = 15$ , $\sum (v - 1) (6 - v) = 0 + 4 + 6 + 6 + 4 + 0 = 20$ より
$6 + 7 \cdot 15 + 7 \cdot 15 + 42 \cdot 20 = 6 + 105 + 105 + 840 = 1056 通り$

(ii) 四分位範囲が $1$ のとき（ $x_{2} = v, x_{6} = v + 1$ , $v = 1, \dots, 5$ ）

$v$ より小さい目が $a$ 個、 $v + 1$ より大きい目が $c$ 個 ( $a, c \in {0, 1}$ )、 $v$ が $p$ 個、 $v + 1$ が $q$ 個 ( $p + q = 7 - a - c$ ) とする。 $x_{2} = v$ となる条件は $a + p ≧ 2$ 、 $x_{6} = v + 1$ となる条件は $a + p ≦ 5$ である。
- $a = 0, c = 0$ ： $2 ≦ p ≦ 5$ 。並べ方は $_{7} C_{2} +_{7} C_{3} +_{7} C_{4} +_{7} C_{5} = 21 + 35 + 35 + 21 = 112$ 通り。
- $a = 1, c = 0$ ： $1 ≦ p ≦ 4$ 。小さい目の位置 $7$ 通り、値 $v - 1$ 通り、残り $6$ 個の並べ方 $_{6} C_{1} +_{6} C_{2} +_{6} C_{3} +_{6} C_{4} = 56$ 通りで、 $392 (v - 1)$ 通り。
- $a = 0, c = 1$ ： $2 ≦ p ≦ 5$ 。大きい目の位置 $7$ 通り、値 $5 - v$ 通り、残り $6$ 個の並べ方 $_{6} C_{2} +_{6} C_{3} +_{6} C_{4} +_{6} C_{5} = 56$ 通りで、 $392 (5 - v)$ 通り。
- $a = 1, c = 1$ ： $1 ≦ p ≦ 4$ 。位置 $7 \cdot 6$ 通り、値 $(v - 1) (5 - v)$ 通り、残り $5$ 個の並べ方 $_{5} C_{1} +_{5} C_{2} +_{5} C_{3} +_{5} C_{4} = 30$ 通りで、 $1260 (v - 1) (5 - v)$ 通り。

$v = 1, \dots, 5$ で和をとると、 $\sum (v - 1) = 10$ , $\sum (5 - v) = 10$ , $\sum (v - 1) (5 - v) = 0 + 3 + 4 + 3 + 0 = 10$ より
$5 \cdot 112 + 392 \cdot 10 + 392 \cdot 10 + 1260 \cdot 10 = 560 + 3920 + 3920 + 12600 = 21000 通り$

(iii) まとめ

四分位範囲が $1$ 以下となる目の出方は $1056 + 21000 = 22056$ 通り。よって求める確率は
$\frac{22056}{279936} = \frac{24 \cdot 919}{24 \cdot 11664} = \frac{919}{11664}$

別解

第1四分位数は $x_{2}$ 、第3四分位数は $x_{6}$ なので、四分位範囲は $x_{6} - x_{2}$ 。これが $1$ 以下となる確率を数える。全事象は $6^{7} = 279936$ 通り（各回の目を区別した列）。

(i) $x_{2} = x_{6} = v$ のとき。 $v$ 未満の個数を $A$ 、 $v$ より大きい個数を $C$ 、 $v$ に等しい個数を $B$ とすると、 $x_{2} = v$ から $A ≦ 1$ 、 $x_{6} = v$ から $C ≦ 1$ 。 $(A, C)$ ごとの列の数は $\frac{7 !}{A ! B ! C !} (v - 1)^{A} (6 - v)^{C}$ 。
- $(0, 0)$ : $6$
- $(1, 0)$ : $7 \sum (v - 1) = 7 \cdot 15 = 105$
- $(0, 1)$ : $105$
- $(1, 1)$ : $42 \sum (v - 1) (6 - v) = 42 \cdot 20 = 840$
合計 $1056$ 。

(ii) $x_{2} = v, x_{6} = v + 1$ のとき ( $v = 1, \dots, 5$ )。 $v$ 未満 $A$ 個、 $v$ が $B$ 個、 $v + 1$ が $C$ 個、 $v + 2$ 以上 $D$ 個とすると、 $A ≦ 1$ 、 $D ≦ 1$ 、 $2 ≦ A + B ≦ 5$ 。
- $(A, D) = (0, 0)$ : $\sum_{B = 2}^{5} (B 7) = 112$ 、 $v$ 5 通りで $560$
- $(1, 0)$ : $7 \sum_{B = 1}^{4} (B 6) = 392$ 、重み $\sum (v - 1) = 10$ で $3920$
- $(0, 1)$ : 同様に $392 \times \sum (5 - v) = 3920$
- $(1, 1)$ : $42 \sum_{B = 1}^{4} (B 5) = 1260$ 、重み $\sum (v - 1) (5 - v) = 10$ で $12600$
合計 $21000$ 。

以上より $1056 + 21000 = 22056$ 通り。確率は $\frac{22056}{279936} = \frac{919}{11664}$ 。
検算: (ii) の $(0, 0)$ は ${v, v + 1}$ のみ使う列で $2^{7} - 2 \cdot (1 + 7) = 112$ と一致する。

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