データの分析の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学I データの分析

$n$ を $4$ 以上の整数とする。 $n$ 個の値からなるデータ
$1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \dots, n^{2}$
について考える。四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べ、中央値を境に下位と上位の半分に分ける（ $n$ が奇数のときは、中央値をどちらにも含めない）。下位の半分の中央値を第1四分位数 $Q_{1}$ 、上位の半分の中央値を第3四分位数 $Q_{3}$ とする。

このデータの四分位範囲 $Q_{3} - Q_{1}$ が $2000$ を超えるような $n$ のうち、最小のものを求めよ。

この問題で使うもの

四分位数と四分位範囲（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$n$ を $4$ で割った余りによって、 $Q_{1}$ と $Q_{3}$ が「 $1$ つの値」になるか「 $2$ つの値の平均」になるかが変わります。 $n = 4 m, 4 m + 1, 4 m + 2, 4 m + 3$ で場合分けしましょう。

ヒント 2

$k$ 番目の値は $k^{2}$ です。例えば $n = 4 m + 2$ のとき、 $Q_{1}$ は $m + 1$ 番目、 $Q_{3}$ は $3 m + 2$ 番目の値になります。各場合の四分位範囲を $m$ の式で表し、 $n$ について増加することを確かめましょう。

ヒント 3

四分位範囲は、 $n = 4 m$ のとき $8 m^{2} + 2 m$ 、 $n = 4 m + 1$ のとき $8 m^{2} + 8 m + 2$ 、 $n = 4 m + 2$ のとき $8 m^{2} + 10 m + 3$ 、 $n = 4 m + 3$ のとき $8 m^{2} + 16 m + 8$ です。 $8 m^{2}$ が $2000$ に近くなる $m$ を探しましょう。

答えと解説

答えを見る

63

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

データは小さい順に並んでおり、 $k$ 番目の値は $k^{2}$ である。四分位範囲を $R (n) = Q_{3} - Q_{1}$ とおく。 $n$ を $4$ で割った余りで場合分けし、 $m$ を正の整数とする。

(i) $n = 4 m$ のとき
下位の半分は $1$ 番目から $2 m$ 番目までの $2 m$ 個である。その中央値は $m$ 番目と $m + 1$ 番目の平均なので
$Q_{1} = \frac{m ^{2} + ( m + 1 ) ^{2}}{2} = \frac{2 m ^{2} + 2 m + 1}{2} .$
上位の半分は $2 m + 1$ 番目から $4 m$ 番目までの $2 m$ 個である。その中央値は全体の $3 m$ 番目と $3 m + 1$ 番目の平均なので
$Q_{3} = \frac{( 3 m ) ^{2} + ( 3 m + 1 ) ^{2}}{2} = \frac{18 m ^{2} + 6 m + 1}{2} .$
よって $R (4 m) = \frac{16 m ^{2} + 4 m}{2} = 8 m^{2} + 2 m$ 。

(ii) $n = 4 m + 1$ のとき
中央値は $2 m + 1$ 番目である。下位の半分は $1$ 〜 $2 m$ 番目なので、 $Q_{1} = \frac{m ^{2} + ( m + 1 ) ^{2}}{2}$ 。上位の半分は $2 m + 2$ 〜 $4 m + 1$ 番目の $2 m$ 個で、その中央値は全体の $3 m + 1$ 番目と $3 m + 2$ 番目の平均なので
$Q_{3} = \frac{( 3 m + 1 ) ^{2} + ( 3 m + 2 ) ^{2}}{2} = \frac{18 m ^{2} + 18 m + 5}{2} .$
よって $R (4 m + 1) = \frac{16 m ^{2} + 16 m + 4}{2} = 8 m^{2} + 8 m + 2$ 。

(iii) $n = 4 m + 2$ のとき
下位の半分は $1$ 〜 $2 m + 1$ 番目の $2 m + 1$ 個で、その中央値は $m + 1$ 番目なので $Q_{1} = (m + 1)^{2}$ 。上位の半分は $2 m + 2$ 〜 $4 m + 2$ 番目の $2 m + 1$ 個で、その中央値は全体の $3 m + 2$ 番目なので $Q_{3} = (3 m + 2)^{2}$ 。
よって $R (4 m + 2) = (9 m^{2} + 12 m + 4) - (m^{2} + 2 m + 1) = 8 m^{2} + 10 m + 3$ 。

(iv) $n = 4 m + 3$ のとき
中央値は $2 m + 2$ 番目である。下位の半分は $1$ 〜 $2 m + 1$ 番目なので、 $Q_{1} = (m + 1)^{2}$ 。上位の半分は $2 m + 3$ 〜 $4 m + 3$ 番目の $2 m + 1$ 個で、その中央値は全体の $3 m + 3$ 番目なので $Q_{3} = (3 m + 3)^{2}$ 。
よって $R (4 m + 3) = 9 (m + 1)^{2} - (m + 1)^{2} = 8 m^{2} + 16 m + 8$ 。

$R (n)$ が増加することの確認
隣り合う $n$ の差を調べる。
- $R (4 m + 1) - R (4 m) = 6 m + 2 > 0$
- $R (4 m + 2) - R (4 m + 1) = 2 m + 1 > 0$
- $R (4 m + 3) - R (4 m + 2) = 6 m + 5 > 0$
- $R (4 m + 4) - R (4 m + 3) = {8 (m + 1)^{2} + 2 (m + 1)} - (8 m^{2} + 16 m + 8) = 2 m + 2 > 0$

したがって、 $R (n)$ は $n$ について単調に増加する。

$2000$ を超える最小の $n$ を求める
$m = 15$ のとき $8 m^{2} = 1800$ であり、
- $R (60) = 1800 + 30 = 1830$
- $R (61) = 1800 + 120 + 2 = 1922$
- $R (62) = 1800 + 150 + 3 = 1953$
- $R (63) = 1800 + 240 + 8 = 2048$

$R (62) = 1953 ≦ 2000 < 2048 = R (63)$ であり、 $R (n)$ は増加するから、 $n ≦ 62$ では $R (n) ≦ 2000$ である。

念のため直接確かめる。 $n = 63$ のとき、 $Q_{1}$ は $16$ 番目の値 $1 6^{2} = 256$ 、 $Q_{3}$ は $48$ 番目の値 $4 8^{2} = 2304$ であり、 $Q_{3} - Q_{1} = 2048$ となる。

よって、求める最小の $n$ は $63$ である。

別解

データは $k^{2}$ ( $k = 1, \dots, n$ ) で、 $k^{2}$ は $k$ について単調増加なので、順位 $k$ の値は $k^{2}$ である。 $n$ を 4 で割った余りで場合分けして $Q_{3} - Q_{1}$ を求める。

$n = 4 m$ : 下位は $1, \dots, 2 m$ で $Q_{1} = \frac{m ^{2} + ( m + 1 ) ^{2}}{2}$ 。上位は $2 m + 1, \dots, 4 m$ で $Q_{3} = \frac{( 3 m ) ^{2} + ( 3 m + 1 ) ^{2}}{2}$ 。差は $8 m^{2} + 2 m$ 。
$n = 4 m + 1$ : 下位は $1, \dots, 2 m$ 、上位は $2 m + 2, \dots, 4 m + 1$ 。 $Q_{3} = \frac{( 3 m + 1 ) ^{2} + ( 3 m + 2 ) ^{2}}{2}$ 。差は $8 m^{2} + 8 m + 2$ 。
$n = 4 m + 2$ : 下位は $1, \dots, 2 m + 1$ で $Q_{1} = (m + 1)^{2}$ 。上位は $2 m + 2, \dots, 4 m + 2$ で $Q_{3} = (3 m + 2)^{2}$ 。差は $8 m^{2} + 10 m + 3$ 。
$n = 4 m + 3$ : 下位は $1, \dots, 2 m + 1$ で $Q_{1} = (m + 1)^{2}$ 。上位は $2 m + 3, \dots, 4 m + 3$ で $Q_{3} = (3 m + 3)^{2}$ 。差は $8 (m + 1)^{2}$ 。

$n = 59$ から $63$ の値は次のとおり。
- $n = 59$ ( $m = 14$ ): $8 \cdot 1 5^{2} = 1800$
- $n = 60$ ( $m = 15$ ): $8 \cdot 225 + 30 = 1830$
- $n = 61$ ( $m = 15$ ): $1800 + 120 + 2 = 1922$
- $n = 62$ ( $m = 15$ ): $1800 + 150 + 3 = 1953$
- $n = 63$ ( $m = 15$ ): $8 \cdot 1 6^{2} = 2048$

$n = 63$ で初めて $2000$ を超える。 $n \leq 58$ では差は $1800$ 以下で、 $n$ について増加するので条件を満たさない。

検算: $n = 63$ のとき、下位は $1, \dots, 31$ でその中央値は 16 番目なので $Q_{1} = 1 6^{2} = 256$ 。上位は $33, \dots, 63$ でその中央値は 16 番目の $48$ なので $Q_{3} = 4 8^{2} = 2304$ 。差は $2304 - 256 = 2048 > 2000$ で、条件を満たす。

よって最小の $n$ は $63$ 。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる