データの分析の問題

難易度 3共通テストレベル数学I データの分析

7 個の値からなるデータ
$4, 7, 9, 12, 15, 18, 21$
に、整数 $a$ $(1 ≦ a ≦ 30)$ を 1 つ加えて、8 個の値からなるデータを作る。

この 8 個の値からなるデータの四分位範囲が $9$ 以下となるような整数 $a$ の個数を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べ、下位 4 個の値の中央値を第 1 四分位数 $Q_{1}$ 、上位 4 個の値の中央値を第 3 四分位数 $Q_{3}$ とし、四分位範囲は $Q_{3} - Q_{1}$ とする。

この問題で使うもの

四分位数と四分位範囲（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

加えた $a$ が小さい順に並べたときどの位置に入るかで、 $Q_{1}$ と $Q_{3}$ の値が変わります。 $a$ の範囲で場合分けしましょう。

ヒント 2

8 個のデータを小さい順に $d_{1}, \dots, d_{8}$ とすると、 $Q_{1} = \frac{d _{2} + d _{3}}{2}$ 、 $Q_{3} = \frac{d _{6} + d _{7}}{2}$ です。 $a$ が真ん中あたり（ $9 ≦ a ≦ 15$ ）にあるときは $Q_{1}, Q_{3}$ が $a$ によらず決まります。

ヒント 3

$4 ≦ a ≦ 9$ のとき四分位範囲は $\frac{26 - a}{2}$ 、 $9 ≦ a ≦ 15$ のとき $\frac{17}{2}$ 、 $15 ≦ a ≦ 21$ のとき $\frac{a + 2}{2}$ になります。それぞれで $9$ 以下となる整数 $a$ を数えましょう。

答えと解説

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9

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解説を読む

8 個の値を小さい順に並べたものを $d_{1} ≦ d_{2} ≦ \dots ≦ d_{8}$ とすると
$Q_{1} = \frac{d _{2} + d _{3}}{2}, Q_{3} = \frac{d _{6} + d _{7}}{2}$
である。 $a$ の位置によって場合分けする。

(1) $a ≦ 4$ のとき 並びは $a, 4, 7, 9, 12, 15, 18, 21$ で
$Q_{1} = \frac{4 + 7}{2} = \frac{11}{2}, Q_{3} = \frac{15 + 18}{2} = \frac{33}{2}, Q_{3} - Q_{1} = 11$
となり、条件を満たさない。

(2) $4 ≦ a ≦ 9$ のとき $d_{2}, d_{3}$ は $a$ と $7$ （ $a ≦ 7$ なら $a, 7$ 、 $7 ≦ a ≦ 9$ なら $7, a$ ）で、いずれも $Q_{1} = \frac{a + 7}{2}$ 。上位は変わらず $Q_{3} = \frac{33}{2}$ 。よって
$Q_{3} - Q_{1} = \frac{33}{2} - \frac{a + 7}{2} = \frac{26 - a}{2}$
$\frac{26 - a}{2} ≦ 9$ より $a ≧ 8$ 。この範囲の整数は $a = 8, 9$ 。

(3) $9 ≦ a ≦ 15$ のとき 並びは $4, 7, 9, \dots, 15, 18, 21$ の間に $a$ が入る形で、 $d_{2} = 7, d_{3} = 9, d_{6} = 15, d_{7} = 18$ 。
$Q_{1} = 8, Q_{3} = \frac{33}{2}, Q_{3} - Q_{1} = \frac{17}{2}$
となり、つねに条件を満たす。整数は $a = 9, 10, \dots, 15$ 。

(4) $15 ≦ a ≦ 21$ のとき $Q_{1} = 8$ 、 $d_{6}, d_{7}$ は $a$ と $18$ なので $Q_{3} = \frac{a + 18}{2}$ 。よって
$Q_{3} - Q_{1} = \frac{a + 18}{2} - 8 = \frac{a + 2}{2}$
$\frac{a + 2}{2} ≦ 9$ より $a ≦ 16$ 。この範囲の整数は $a = 15, 16$ 。

(5) $a ≧ 21$ のとき $Q_{1} = 8$ 、 $Q_{3} = \frac{18 + 21}{2} = \frac{39}{2}$ で $Q_{3} - Q_{1} = \frac{23}{2}$ となり、条件を満たさない。

以上より、条件を満たす整数 $a$ は $a = 8, 9, 10, \dots, 16$ であり、その個数は
$16 - 8 + 1 = 9$

別解

8 個のデータを小さい順に並べたとき、 $Q_{1}$ は 2 番目と 3 番目の平均、 $Q_{3}$ は 6 番目と 7 番目の平均である。

(i) $a ≦ 4$ : 並びは $a, 4, 7, 9, 12, 15, 18, 21$ 。 $Q_{1} = \frac{4 + 7}{2} = 5.5$ 、 $Q_{3} = \frac{15 + 18}{2} = 16.5$ 、四分位範囲 $11 > 9$ で不適。
(ii) $a = 5, 6, 7$ : $Q_{1} = \frac{a + 7}{2}$ （ $a = 5, 6, 7$ で $6, 6.5, 7$ ）、 $Q_{3} = 16.5$ 。四分位範囲は $10.5, 10, 9.5$ でいずれも $9$ より大きく不適。
(iii) $8 ≦ a ≦ 9$ : $Q_{1} = \frac{7 + a}{2}$ 、 $Q_{3} = 16.5$ 。 $a = 8$ で $9$ 、 $a = 9$ で $8.5$ 。適する。
(iv) $10 ≦ a ≦ 15$ : 下位 4 個は $4, 7, 9, (9 以上の値)$ または $4, 7, 9, 12$ で、2・3 番目は $7, 9$ なので $Q_{1} = 8$ 。 $6, 7$ 番目は $15$ 以下の $a$ に対して $15, 18$ または $a$ を含んでも $15$ と $18$ （ $a ≦ 15$ のとき 6 番目 $15$ 、7 番目 $18$ ）なので $Q_{3} = 16.5$ 。四分位範囲 $8.5$ 。適する。
(v) $a = 16, 17, 18$ : $Q_{1} = 8$ 、 $Q_{3} = \frac{a + 18}{2}$ ではなく、並びは $\dots, 15, a, 18, 21$ （ $a = 16, 17$ ）で 6 番目 $a$ 、7 番目 $18$ 。 $Q_{3} = \frac{a + 18}{2}$ 。 $a = 16$ で $17$ 、四分位範囲 $9$ で適する。 $a = 17$ で $17.5$ 、四分位範囲 $9.5$ で不適。 $a = 18$ は $Q_{3} = 18$ 、四分位範囲 $10$ で不適。
(vi) $a ≧ 19$ : $Q_{3} ≧ 18.5$ で四分位範囲 $10.5$ 以上、不適。

適する $a$ は $8, 9, \dots, 16$ の $9$ 個。
検算: $a = 16$ のとき並びは $4, 7, 9, 12, 15, 16, 18, 21$ 、 $Q_{1} = 8$ 、 $Q_{3} = 17$ 、差 $9$ 。 $a = 17$ のとき $Q_{3} = 17.5$ で差 $9.5$ 。

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