平均と合計

合計＝平均 × 個数の関係を使って、何回かのテストの平均点から次に何点をとれば目標の平均点になるかなどを求められる

前提

中学までに習ったことだけで始められます。

説明

いくつかの数の「平均」と「合計」の関係を使って、わかっていない点数や数を求める方法です。合計＝平均 × 個数という関係を使うと、平均しかわかっていなくても合計を出せます。テストの平均点から次に何点とればよいかを求めたり、何人かの平均の身長や体重から 1 人分を求めたりするときに使います。

なぜそうしてよいのか

平均とは、いくつかの数を「でこぼこがないように同じ大きさにならしたときの 1 つ分の大きさ」のことです。たとえば 70 点、80 点、90 点の 3 回のテストなら、90 点から 10 点を 70 点に分けてあげると 80 点、80 点、80 点にそろいます。このそろえた 80 点が平均です。点数をやりとりしただけなので、合計は $70 + 80 + 90 = 240$ 点のまま変わりません。

ならした後は、同じ 80 点が 3 つならんでいるので、合計は $80 \times 3 = 240$ 点です。つまり、どんな場合でも
$合計 = 平均 \times 個数$
が成り立ちます。逆に、合計を個数で等しく分けたものが平均です（合計 ÷ 個数）。

この関係を使うと、「平均が □ 点で □ 回」とわかれば合計が求められます。目標の平均にするための点数は、「目標の平均で必要な合計」と「今までの合計」の差として求められます。

手順

今までの回数と平均から、今までの合計を求める。（今までの平均 × 今までの回数）
目標の平均と、次の回をふくめた回数から、目標のために必要な合計を求める。（目標の平均 × 全部の回数）
必要な合計から今までの合計を引いて、次の回にとるべき点数を求める。
求めた点数を入れて、合計を全部の回数で分けると目標の平均になるか確かめる。

例題

あきらさんは、これまでに 4 回の算数のテストを受け、その平均点は 75 点でした。5 回目のテストで何点をとれば、5 回の平均点が 78 点になりますか。

例題の解答

手順 1: 4 回の平均点が 75 点なので、4 回の合計点は
$75 \times 4 = 300$
で 300 点です。

手順 2: 5 回の平均点を 78 点にするには、5 回の合計点が
$78 \times 5 = 390$
で 390 点必要です。

手順 3: 5 回目でとるべき点数は、必要な合計と今までの合計の差で
$390 - 300 = 90$
より 90 点です。

手順 4: 5 回の合計は $300 + 90 = 390$ 点で、 $78 \times 5 = 390$ なので、5 回に等しく分けると 78 点になり、たしかに平均 78 点です。

答えは 90 点です。

答え: $90$

よくある誤り

平均どうしをそのままたしたり引いたりしてしまう誤り。例: 平均を 3 点上げたいので $75 + 3 = 78$ 点、または $78 - 75 = 3$ 点ととってしまう。正しくは合計で考え、 $78 \times 5 - 75 \times 4 = 390 - 300 = 90$ 点。
目標の合計を求めるときに、回数を 1 つ増やすのを忘れる誤り。例: 必要な合計を $78 \times 4 = 312$ 点としてしまう。正しくは 5 回目をふくめた 5 回分で $78 \times 5 = 390$ 点。
「平均を 3 点上げるには次の回で 3 点多くとればよい」と考える誤り。例: $75 + 3 = 78$ 点ととればよいとしてしまう。正しくは、5 回目の点数は 5 回全部の平均を 3 点ずつ上げる分（ $3 \times 5 = 15$ 点）を受け持つので、 $75 + 15 = 90$ 点が必要。
今までの合計を、平均の点数そのままと考えてしまう誤り。例: 今までの合計を 75 点として $390 - 75$ を計算してしまう。正しくは今までの合計は $75 \times 4 = 300$ 点。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ゆいさんは、これまでに算数のテストを 3 回受けて、その平均点は 70 点でした。4 回目のテストを受けて、4 回の平均点をちょうど 75 点にするには、4 回目のテストで何点をとればよいですか。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

平均算（面積図）（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）