あるクラスで算数のテストをしました。男子 15 人の平均点は 60 点、女子の平均点は 75 点で、クラス全体の平均点は 66 点でした。女子は何人ですか。
平均算（面積図）
たてを平均、横を人数とする面積図をかき、へこんだ部分とでっぱった部分の面積が等しいことを使って、男子・女子の平均点と全体の平均点から人数を求められる
前提
説明
男子と女子のように 2 つのグループがあり、それぞれの平均点と全体の平均点がわかっているときに、人数を求める方法です。たてを平均点、横を人数とした長方形の図（面積図）をかくと、長方形の面積が合計点を表すので、合計の関係が目で見てわかります。全体の平均より低いグループの「へこみ」と高いグループの「でっぱり」の面積が等しいことを使って解きます。
なぜそうしてよいのか
合計 ＝ 平均 × 人数 なので、たてを平均点、横を人数とする長方形をかくと、その面積はそのグループの合計点になります。男子の長方形と女子の長方形を横にならべると、2 つの面積の和が全体の合計点です。
全体の合計点は、全体の平均点 × 全体の人数 でもあるので、高さが全体の平均点で横が全体の人数の長方形の面積とも等しくなります。2 つの長方形をならべた図に、全体の平均点の高さで横線を引くと、平均の低いグループの長方形はその線より下にへこみ、平均の高いグループの長方形はその線より上にでっぱります。面積の合計は同じなので、へこんだ部分の面積とでっぱった部分の面積は等しくなります。
へこみの面積は（全体の平均 − 低いほうの平均）× 低いほうの人数、でっぱりの面積は（高いほうの平均 − 全体の平均）× 高いほうの人数 です。片方の人数がわかれば、等しい面積から、もう片方の人数が求められます。
手順
2 つのグループの長方形を、たてを平均点、横を人数としてならべてかき、全体の平均点の高さに横線を引く。
平均点が全体より低いグループのへこみの高さ（全体の平均 − そのグループの平均）と、高いグループのでっぱりの高さ（そのグループの平均 − 全体の平均）を求める。
人数がわかっているほうの部分の面積を求める。（高さ × 人数）
へこみとでっぱりの面積が等しいことから、もう一方の部分の横の長さ、つまり人数を求める。（面積 ÷ 高さ）
それぞれの合計点を出して全体の人数で分け、全体の平均点になるか確かめる。
例題
あるクラスで算数のテストをしたところ、男子 20 人の平均点は 68 点、女子の平均点は 74 点、クラス全体の平均点は 72 点でした。女子は何人ですか。
例題の解答
手順 1: 男子の長方形（たて 68、横 20）と女子の長方形（たて 74、横は女子の人数）をならべ、高さ 72 のところに横線を引きます。男子の長方形はこの線より下にへこみ、女子の長方形は上にでっぱります。
手順 2: へこみの高さは 点、でっぱりの高さは 点です。
手順 3: 男子のへこみの面積は です。
手順 4: でっぱりの面積も 80 なので、女子の人数は、2 が何こ分で 80 になるかを考えて 人です。
手順 5: 男子の合計は 点、女子の合計は 点で、全体の合計は 点です。全体の人数は 60 人で、 なので、平均は 72 点となり合っています。
答えは 40 人です。
答え:
よくある誤り
男子と女子の平均点をそのまま平均して全体の平均としてしまう誤り。例: 点が全体の平均だと考えてしまう。正しくは人数がちがうと全体の平均は合計 ÷ 全体の人数で決まり、人数の多いグループの平均に近くなる。
へこみとでっぱりの高さを、全体の平均ではなく 2 つのグループの平均の差で考えてしまう誤り。例: 高さを 点として などを計算してしまう。正しくは全体の平均 72 点を基準に、へこみ 点、でっぱり 点を使う。
面積が等しいことから人数を出すときに、高さを取りちがえる誤り。例: 女子の人数を 人としてしまう。正しくは女子のでっぱりの高さは 2 点なので、 人。
求めた人数を確かめない誤り。正しくは 、 のように合計から全体の平均を計算して確かめる。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。