データの分析の問題

選んだ $5$ 個の整数を小さい順に $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$ とします。

四分位範囲を式で表す

中央値は $x_3$ です。下位のデータは $x_1,x_2$、上位のデータは $x_4,x_5$ です。したがって
$$Q_1=\frac{x_1+x_2}{2},Q_3=\frac{x_4+x_5}{2}$$
となります。四分位範囲が $5$ である条件は
$$\frac{x_4+x_5}{2}-\frac{x_1+x_2}{2}=5⟺(x_4-x_2)+(x_5-x_1)=10(1)$$
です。

文字を置き換える

次のように置きます。
- $d=x_4-x_2$
- $u=x_5-x_1$
- $p=x_2-x_1$
- $q=x_5-x_4$

このとき $p\geqq 1,q\geqq 1$ です。また、$x_2<x_3<x_4$ より $d\geqq 2$ です。さらに $u=p+d+q$ なので、$u\geqq d+2$ が成り立ちます。

$(1)$ は $d+u=10$ です。$u\geqq d+2$ と合わせると $10-d\geqq d+2$ となり、$d\leqq 4$ です。よって $d=2,3,4$ のいずれかです。

数え方

$d$ を固定すると $u=10-d$ が決まり、$p+q=u-d=10-2d$ です。

$(p,q)$ と $x_1$ を決めると、$x_2,x_4,x_5$ はすべて決まります。$x_5=x_1+u\leqq 15$ より、$x_1$ の選び方は $15-u$ 通りです。

$x_3$ は $x_2<x_3<x_4$ を満たす整数なので、その選び方は $d-1$ 通りです。

• $d=2$ のとき: $u=8$、$p+q=6$ です。$(p,q)$ は $(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$ の $5$ 通りです。$x_1$ は $15-8=7$ 通り、$x_3$ は $1$ 通りです。よって $5\times 7\times 1=35$ 通りです。
• $d=3$ のとき: $u=7$、$p+q=4$ です。$(p,q)$ は $(1,3),(2,2),(3,1)$ の $3$ 通りです。$x_1$ は $15-7=8$ 通り、$x_3$ は $2$ 通りです。よって $3\times 8\times 2=48$ 通りです。
• $d=4$ のとき: $u=6$、$p+q=2$ です。$(p,q)=(1,1)$ の $1$ 通りです。$x_1$ は $15-6=9$ 通り、$x_3$ は $3$ 通りです。よって $1\times 9\times 3=27$ 通りです。

合計

$$35+48+27=110$$

したがって、求める選び方は $110$ 通りです。

選んだ5個を小さい順に $a<b<c<d<e$ とする。データの個数は5で奇数なので、中央値 $c$ は除かれ、下位は $\{a,b\}$、上位は $\{d,e\}$ となる。よって $Q_1=\frac{a+b}{2}$、$Q_3=\frac{d+e}{2}$ であり、四分位範囲 $=\frac{d+e-a-b}{2}=5$ より $d+e-a-b=10$。

$x=b-a\ge 1$、$y=e-d\ge 1$、$g=d-b\ge 2$ とおく($b<c<d$ となる $c$ が存在するには $d-b\ge 2$ が必要)。条件は $2g+x+y=10$ となる。$x,y\ge 1$ より $g\le 4$ なので、$g=2,3,4$ である。

各 $g$ について、$(x,y)$ の組は $x+y=10-2g$ から $9-2g$ 通り。
$b$ の範囲は $a=b-x\ge 1$ と $e=b+g+y\le 15$ より $x+1\le b\le 15-g-y$ で、個数は $15-g-x-y=5+g$ 通り。
$c$ は $b<c<d$ の整数なので $g-1$ 通り。

• $g=2$: $5\times 7\times 1=35$
• $g=3$: $3\times 8\times 2=48$
• $g=4$: $1\times 9\times 3=27$

合計は $35+48+27=110$。

検算: $g=4$ のとき $x=y=1$ なので、$(a,b,c,d,e)=(1,2,c,6,7)$ は $c=3,4,5$ の3通り。$Q_1=1.5$、$Q_3=6.5$ で差は5となり条件を満たす。