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定義域つきの2次関数の最大・最小

定義域 が与えられたとき、頂点と定義域の端の値を比べて、2次関数の最大値・最小値とそのときの を求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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説明

2次関数の の範囲が に限られているとき、その範囲での最大値・最小値と、そのときの の値を求められるようになります。範囲に制限があると、頂点の 座標がそのまま答えになるとは限りません。面積や利益を最大にする問題など、 の取りうる範囲が決まっている場面でよく使います。

なぜそうしてよいのか

平方完成すると の形になり、グラフは軸 について左右対称な放物線です。 のとき、 は軸より左側では が増えると減り、軸より右側では が増えると増えます。 は軸からの距離の 2 乗なので、 の値は「軸からどれだけ離れているか」だけで決まり、離れるほど大きくなります。

したがって の場合、定義域 の中で が最も小さくなるのは、定義域の中で軸に最も近い点です。軸が定義域の中にあれば頂点 、外にあれば軸に近いほうの端になります。最も大きくなるのは軸から最も遠い点で、これは必ず両端 、 のどちらかです。 のときはグラフが上に凸になるので、最大と最小の役割がちょうど入れかわります。

つまり、調べる候補は「頂点（定義域内にあるときだけ）」と「定義域の両端」の高々 3 点です。これらの の値を比べれば答えが決まります。

手順

  1. 平方完成して の形にし、軸 と頂点 を求める。

  2. 軸 が定義域 の内側にあるか外側にあるかを確かめる。

  3. 定義域の両端の値 、 を計算する。軸が定義域内なら頂点の値 も候補に入れる。

  4. のとき、最小値は軸に最も近い点の値（軸が定義域内なら ）、最大値は軸から遠いほうの端の値。 のときは最大と最小を入れかえる。

  5. 定義域の部分だけグラフをかいて結果を確かめ、最大値・最小値をそのときの とともに答える。

例題

関数 の最大値と最小値を順に求めよ。

例題の解答

手順1：平方完成すると となる。軸は 、頂点は で、 の係数は なのでグラフは下に凸。
手順2：軸 は定義域 の内側にある。
手順3：端の値を計算する。 のとき 、 のとき 。頂点の値は 。
手順4：下に凸で軸が定義域内なので、最小値は頂点の値 （ のとき）。最大値は軸から遠いほうの端の値になる。軸からの距離は が 、 が なので、 のほうが遠い。よって最大値は （ のとき）。
手順5：グラフで確かめると、 で最も低く、右端の で最も高い。
答え： のとき最大値 、 のとき最小値 。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること