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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

関数 $y = x^{2} - 6 x + 7 (1 ≦ x ≦ 6)$ の最大値と最小値を、この順に求めよ。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント 1

定義域つきの2次関数の最大・最小の考え方を使います。まず平方完成して頂点を求め、定義域 $1 ≦ x ≦ 6$ の中でグラフがどうなるかを調べましょう。

ヒント 2

$y = (x - 3)^{2} - 2$ と変形できます。頂点の $x$ 座標が定義域に入っているかを確かめ、定義域の両端 $x = 1, 6$ での $y$ の値も計算して比べます。

ヒント 3

頂点は $(3, - 2)$ で、定義域に含まれます。また、 $x = 1$ のとき $y = 2$ 、 $x = 6$ のとき $y = 7$ です。下に凸のグラフであることから、最小・最大となる場所を判断しましょう。

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(7, - 2)

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解説を読む

手順1：平方完成して頂点を求める。
$y = x^{2} - 6 x + 7 = (x - 3)^{2} - 9 + 7 = (x - 3)^{2} - 2$
よって、グラフは頂点 $(3, - 2)$ 、軸が直線 $x = 3$ の下に凸の放物線である。

手順2：定義域の両端での $y$ の値を求める。
$x = 1$ のとき $y = (1 - 3)^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$

$x = 6$ のとき $y = (6 - 3)^{2} - 2 = 9 - 2 = 7$

手順3：頂点が定義域に含まれるかを確かめ、値を比べる。
軸 $x = 3$ は $1 ≦ x ≦ 6$ に含まれる。グラフは下に凸なので、頂点で最小となり、最小値は $x = 3$ のときの $- 2$ である。

最大値は、軸から遠い方の端でとる。軸 $x = 3$ から $x = 1$ までの距離は $2$ 、 $x = 6$ までの距離は $3$ なので、 $x = 6$ の方が遠い。実際に手順2の値を比べても $2 < 7$ である。よって最大値は $x = 6$ のときの $7$ である。

以上より、 $x = 6$ のとき最大値 $7$ 、 $x = 3$ のとき最小値 $- 2$ である。

答え：最大値 $7$ 、最小値 $- 2$

別解

$y = x^{2} - 6 x + 7 = (x - 3)^{2} - 2$ と平方完成できる。頂点は $x = 3$ で、これは区間 $1 ≦ x ≦ 6$ に含まれる。

最小値は $x = 3$ のとき $y = - 2$ 。

区間の両端での値を調べる。
- $x = 1$ のとき $y = 1 - 6 + 7 = 2$
- $x = 6$ のとき $y = 36 - 36 + 7 = 7$

下に凸の放物線なので、最大値は軸から遠い端点で取る。軸 $x = 3$ からの距離は $x = 1$ が $2$ 、 $x = 6$ が $3$ なので、 $x = 6$ の方が遠い。よって最大値は $x = 6$ のとき $7$ 。

検算として、 $x = 3$ で $9 - 18 + 7 = - 2$ となり、平方完成の結果と一致する。

したがって、最大値は $7$ 、最小値は $- 2$ 。