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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

関数 $y = x^{2} - 6 x + 7 (1 ≦ x ≦ 4)$ の最大値と最小値を、この順に求めよ。

この問題で使うもの

定義域つきの2次関数の最大・最小（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「定義域つきの2次関数の最大・最小」の技能を使います。まず平方完成して頂点を求め、定義域の範囲でグラフをかきましょう。

ヒント 2

$y = (x - 3)^{2} - 2$ と変形できます。軸 $x = 3$ が定義域 $1 ≦ x ≦ 4$ に含まれるかを確認し、頂点と両端 $x = 1, x = 4$ での $y$ の値を比べます。

ヒント 3

頂点は $(3, - 2)$ で、軸は定義域の中にあるので、最小値は頂点でとります。両端の値は $x = 1$ のとき $y = 2$ 、 $x = 4$ のとき $y = - 1$ です。

答えと解説

答えを見る

(2, - 2)

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解説を読む

手順1：平方完成して頂点と軸を求める

$y = x^{2} - 6 x + 7 = (x^{2} - 6 x + 9) - 9 + 7 = (x - 3)^{2} - 2$

よって、グラフは下に凸の放物線で、頂点は $(3, - 2)$ 、軸は直線 $x = 3$ である。

手順2：軸が定義域に含まれるかを調べる

軸 $x = 3$ は定義域 $1 ≦ x ≦ 4$ の中にある。下に凸なので、最小値は頂点でとる。

手順3：定義域の両端の値を計算する

$x = 1$ のとき $y = (1 - 3)^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$

$x = 4$ のとき $y = (4 - 3)^{2} - 2 = 1 - 2 = - 1$

手順4：頂点と両端の値を比べる

候補の値は、頂点の $- 2$ 、両端の $2$ と $- 1$ である。グラフをかくと、軸 $x = 3$ から遠い端 $x = 1$ のほうが高い位置にある。

したがって

最大値は $x = 1$ のとき $2$
最小値は $x = 3$ のとき $- 2$

答えは、最大値 $2$ 、最小値 $- 2$ である。

別解

$y = x^{2} - 6 x + 7 = (x - 3)^{2} - 2$ と平方完成できる。頂点は $x = 3$ で、 $1 ≦ x ≦ 4$ に含まれるので、 $x = 3$ のとき最小値 $- 2$ をとる。端点の値は、 $x = 1$ のとき $y = 1 - 6 + 7 = 2$ 、 $x = 4$ のとき $y = 16 - 24 + 7 = - 1$ である。放物線は下に凸で軸 $x = 3$ から遠い端点ほど値が大きく、 $x = 1$ の方が軸から遠い（距離 2 と 1）ので、最大値は $x = 1$ のときの $2$ である。検算として $x = 3$ のとき $9 - 18 + 7 = - 2$ となり一致する。よって最大値 $2$ 、最小値 $- 2$ 。

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