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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

関数 $y = x^{2} - 2 x - 3 (- 1 ≦ x ≦ 4)$ の最大値と最小値を、この順に求めよ。

この問題で使うもの

定義域つきの2次関数の最大・最小（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「定義域つきの2次関数の最大・最小」の技能を使います。まず平方完成して頂点と軸を求め、グラフと定義域の位置関係を調べましょう。

ヒント 2

$y = (x - 1)^{2} - 4$ と変形できます。軸 $x = 1$ は定義域 $- 1 ≦ x ≦ 4$ の中にあるので、最小値は頂点の $y$ 座標です。最大値は、定義域の両端 $x = - 1, 4$ での値を比べて決めます。

ヒント 3

頂点は $(1, - 4)$ です。 $x = - 1$ のとき $y = 0$ です。あとは $x = 4$ のときの $y$ の値を計算して、 $0$ と比べましょう。

答えと解説

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(5, - 4)

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解説を読む

手順1：平方完成して頂点と軸を求める
$y = x^{2} - 2 x - 3 = (x^{2} - 2 x + 1) - 1 - 3 = (x - 1)^{2} - 4$
よって、グラフは下に凸の放物線で、頂点は $(1, - 4)$ 、軸は直線 $x = 1$ です。

手順2：頂点が定義域に入っているか確かめる
軸 $x = 1$ は定義域 $- 1 ≦ x ≦ 4$ の中にあります。グラフは下に凸なので、頂点で最小になります。最小値は $x = 1$ のときの $- 4$ です。

手順3：定義域の両端の値を計算して比べる
$x = - 1$ のとき $y = (- 1 - 1)^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$

$x = 4$ のとき $y = (4 - 1)^{2} - 4 = 9 - 4 = 5$

$0 < 5$ なので、最大値は $x = 4$ のときの $5$ です。（軸 $x = 1$ からの距離は、 $x = - 1$ が $2$ 、 $x = 4$ が $3$ です。軸から遠い端 $x = 4$ で最大になる、と考えることもできます。）

答え
最大値 $5$ （ $x = 4$ のとき）、最小値 $- 4$ （ $x = 1$ のとき）。

したがって、最大値と最小値は順に $5, - 4$ です。

別解

$y = x^{2} - 2 x - 3 = (x - 1)^{2} - 4$ と平方完成できる。軸は $x = 1$ で、これは区間 $- 1 ≦ x ≦ 4$ に含まれる。下に凸なので、 $x = 1$ で最小値 $- 4$ をとる。区間の端の値は、 $x = - 1$ のとき $y = 1 + 2 - 3 = 0$ 、 $x = 4$ のとき $y = 16 - 8 - 3 = 5$ である。軸 $x = 1$ から遠い端は $x = 4$ なので、最大値は $x = 4$ のときの $5$ である。検算として、 $x = 1$ では $1 - 2 - 3 = - 4$ 、 $x = - 1$ では $0$ 、 $x = 4$ では $5$ となり、 $- 4 ≦ y ≦ 5$ に収まっている。よって最大値 $5$ 、最小値 $- 4$ 。

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