2次関数の問題

手順1：平方完成して軸を求める
$$f(x)=x^2-2ax+3=(x-a{)}^2-a^2+3$$
グラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x=a$ です。

手順2：最大値をとる場所を考える
下に凸の放物線では、定義域 $0\leqq x\leqq 2$ の両端のうち、軸から遠いほうで最大値をとります。どちらの端が軸から遠いかは、軸 $x=a$ が定義域の中央 $x=\frac{0+2}{2}=1$ より左か右かで決まります。そこで、$a$ と $1$ の大小で場合分けします。

手順3：場合分けして最大値 $M(a)$ を $a$ の式で表す
- $a<1$ のとき：軸は中央より左にあるので、右端 $x=2$ のほうが軸から遠くなります。
$$M(a)=f(2)=4-4a+3=7-4a$$
- $a=1$ のとき：軸が中央にあるので、両端は軸から等しい距離にあります。
$$M(a)=f(0)=f(2)=3$$
- $a>1$ のとき：軸は中央より右にあるので、左端 $x=0$ のほうが軸から遠くなります。
$$M(a)=f(0)=3$$

手順4：$M(a)=11$ となる $a$ を求める
- $a<1$ のとき：$7-4a=11$ を解くと $a=-1$ です。これは $a<1$ を満たすので適します。
- $a\geqq 1$ のとき：$M(a)=3$ であり、$11$ にはなりません。

よって、求める $a$ の値は $a=-1$ です。

（確認：$a=-1$ のとき $f(x)=x^2+2x+3$ です。$f(0)=3$、$f(2)=4+4+3=11$ なので、最大値は $11$ となり、条件を満たします。）

$f(x)=(x-a{)}^2+3-a^2$ は下に凸の放物線で、軸は $x=a$ である。区間 $0\leqq x\leqq 2$ の中点は $x=1$ なので、最大値は軸から遠い端点でとる。

端点の値は $f(0)=3$、$f(2)=4-4a+3=7-4a$ である。

(i) $a<1$ のとき、$x=2$ のほうが軸から遠いので最大値は $f(2)=7-4a$ となる。$7-4a=11$ より $a=-1$。これは $a<1$ を満たす。

(ii) $a=1$ のとき、$f(0)=f(2)=3$ なので最大値は $3$ となり、$11$ にならない。

(iii) $a>1$ のとき、$x=0$ のほうが軸から遠いので最大値は $f(0)=3$ となり、$11$ にならない。

検算：$a=-1$ のとき $f(x)=x^2+2x+3$ で、この関数は $0\leqq x\leqq 2$ で増加する。したがって最大値は $f(2)=4+4+3=11$ となり、条件を満たす。

よって $a=-1$。