2次関数の問題

平方完成すると
$$f(x)=-(x^2-4x)+1=-(x-2{)}^2+4+1=-(x-2{)}^2+5$$
であるから、$y=f(x)$ のグラフは上に凸の放物線で、軸は $x=2$、頂点は $(2,5)$ である。軸 $x=2$ と定義域 $a\leqq x\leqq a+1$ の位置関係で場合分けする。

$(1)$ $a+1<2$、すなわち $a<1$ のとき

定義域は軸より左にあり、この範囲で $f(x)$ は増加する。よって最大値は
$$f(a+1)=-(a+1-2{)}^2+5=-(a-1{)}^2+5$$
である。これが $4$ となるのは
$$-(a-1{)}^2+5=4⟺(a-1{)}^2=1⟺a=0,2$$
のときで、$a<1$ を満たすのは $a=0$ である。

$(2)$ $a\leqq 2\leqq a+1$、すなわち $1\leqq a\leqq 2$ のとき

定義域に軸 $x=2$ が含まれるので、最大値は $f(2)=5$ であり、$4$ にはならない。

$(3)$ $a>2$ のとき

定義域は軸より右にあり、この範囲で $f(x)$ は減少する。よって最大値は
$$f(a)=-(a-2{)}^2+5$$
である。これが $4$ となるのは
$$-(a-2{)}^2+5=4⟺(a-2{)}^2=1⟺a=1,3$$
のときで、$a>2$ を満たすのは $a=3$ である。

以上より、求める $a$ の値は $a=0,3$ である。

（確認）$a=0$ のとき定義域は $0\leqq x\leqq 1$ で、最大値は $f(1)=-1+4+1=4$。$a=3$ のとき定義域は $3\leqq x\leqq 4$ で、最大値は $f(3)=-9+12+1=4$。

$f(x)=-(x-2{)}^2+5$。軸は $x=2$、上に凸。

$f(x)=4$ を解くと $(x-2{)}^2=1$ より $x=1,3$。

(i) $a+1<2$ すなわち $a<1$ のとき、区間で $f$ は増加し、最大値は $f(a+1)=-(a-1{)}^2+5$。これが $4$ なので $(a-1{)}^2=1$、$a=0,2$。$a<1$ より $a=0$。

(ii) $a\leqq 2\leqq a+1$ すなわち $1\leqq a\leqq 2$ のとき、最大値は $f(2)=5\ne 4$ で不適。

(iii) $a>2$ のとき、区間で $f$ は減少し、最大値は $f(a)=-(a-2{)}^2+5=4$ より $a=1,3$。$a>2$ より $a=3$。

よって $a=0,3$。

検算: $a=0$ では $[0,1]$ で $f(0)=1,f(1)=4$ より最大 4。$a=3$ では $[3,4]$ で $f(3)=4,f(4)=1$ より最大 4。