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2次関数の問題

難易度 3共通テストレベル数学I 2次関数

$a$ を正の定数とする。 $x$ の 2 次関数 $f (x) = x^{2} - 6 x + 10$ の $a ≦ x ≦ 2 a$ における最大値を $M$ 、最小値を $m$ とする。 $M - m = 3$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）
文字を含む2次関数の最大・最小の場合分け（説明と入口の問題）
2次方程式の解の公式と判別式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（27 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f (x)$ を平方完成して軸を求め、定義域 $a ≦ x ≦ 2 a$ と軸 $x = 3$ の位置関係で場合分けしましょう。

ヒント 2

$f (x) = (x - 3)^{2} + 1$ です。場合分けは「 $2 a ≦ 3$ 」「 $a ≦ 3 ≦ 2 a$ 」「 $3 ≦ a$ 」の 3 通りです。軸を含む場合は、最大値をとる端点を決めるために、定義域の中央 $\frac{3 a}{2}$ と $3$ を比べてさらに分けます。

ヒント 3

$0 < a ≦ \frac{3}{2}$ では $M - m = - 3 a^{2} + 6 a$ 、 $a ≧ 3$ では $M - m = 3 a^{2} - 6 a$ です。 $\frac{3}{2} ≦ a ≦ 3$ では $m = 1$ で、 $a ≦ 2$ なら $M - m = (a - 3)^{2}$ 、 $a ≧ 2$ なら $M - m = (2 a - 3)^{2}$ です。それぞれ $= 3$ を解き、範囲に合うものだけを残します。

答えと解説

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{1, \frac{3 + 3}{2}}

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解説を読む

$f (x) = (x - 3)^{2} + 1$ より、グラフは下に凸で軸は $x = 3$ である。定義域 $a ≦ x ≦ 2 a$ の中央の値は $\frac{3 a}{2}$ である。 $a > 0$ より $a < 2 a$ である。

(i) $2 a ≦ 3$ 、すなわち $0 < a ≦ \frac{3}{2}$ のとき

定義域全体が軸の左側にあり、 $f (x)$ は減少する。よって $M = f (a)$ 、 $m = f (2 a)$ で
$M - m = {(a - 3)^{2} + 1} - {(2 a - 3)^{2} + 1} = (a^{2} - 6 a + 9) - (4 a^{2} - 12 a + 9) = - 3 a^{2} + 6 a .$
$- 3 a^{2} + 6 a = 3$ より $a^{2} - 2 a + 1 = 0$ 、 $(a - 1)^{2} = 0$ 、 $a = 1$ 。これは $0 < a ≦ \frac{3}{2}$ を満たす。

(ii) $a ≦ 3 ≦ 2 a$ 、すなわち $\frac{3}{2} ≦ a ≦ 3$ のとき

軸が定義域に含まれるので $m = f (3) = 1$ 。最大値は軸から遠い方の端点でとる。

・ $\frac{3 a}{2} ≦ 3$ 、すなわち $\frac{3}{2} ≦ a ≦ 2$ のとき、 $M = f (a) = (a - 3)^{2} + 1$ 。 $M - m = (a - 3)^{2} = 3$ より $a = 3 \pm 3$ 。 $3 - 3 ≒ 1.27$ 、 $3 + 3 ≒ 4.73$ であり、どちらも $\frac{3}{2} ≦ a ≦ 2$ を満たさない。

・ $\frac{3 a}{2} ≧ 3$ 、すなわち $2 ≦ a ≦ 3$ のとき、 $M = f (2 a) = (2 a - 3)^{2} + 1$ 。 $M - m = (2 a - 3)^{2} = 3$ より $2 a - 3 = \pm 3$ 、 $a = \frac{3 \pm 3}{2}$ 。 $\frac{3 + 3}{2} ≒ 2.37$ は $2 ≦ a ≦ 3$ を満たす。 $\frac{3 - 3}{2} ≒ 0.63$ は満たさない。

(iii) $a ≧ 3$ のとき

定義域全体が軸の右側にあり、 $f (x)$ は増加する。よって $M = f (2 a)$ 、 $m = f (a)$ で
$M - m = (2 a - 3)^{2} - (a - 3)^{2} = 3 a^{2} - 6 a .$
$3 a^{2} - 6 a = 3$ より $a^{2} - 2 a - 1 = 0$ 、 $a = 1 \pm 2$ 。 $1 + 2 ≒ 2.41$ であり、どちらも $a ≧ 3$ を満たさない。

確認

・ $a = 1$ のとき、定義域は $1 ≦ x ≦ 2$ で、 $f (1) = 5$ 、 $f (2) = 2$ より差は $3$ 。

・ $a = \frac{3 + 3}{2}$ のとき、 $2 a - 3 = 3$ なので $M = 3 + 1 = 4$ 、 $m = 1$ で差は $3$ 。

以上より、求める値は $a = 1, \frac{3 + 3}{2}$ である。

別解

$f (x) = (x - 3)^{2} + 1$ 。区間 $[a, 2 a]$ に対し軸 $x = 3$ との位置で場合分けする。

(i) $2 a ≦ 3$ すなわち $0 < a ≦ \frac{3}{2}$ のとき、 $f$ は減少。 $M = f (a)$ , $m = f (2 a)$ より $M - m = (a^{2} - 6 a + 10) - (4 a^{2} - 12 a + 10) = - 3 a^{2} + 6 a$ 。これが 3 なので $a^{2} - 2 a + 1 = 0$ より $a = 1$ （条件を満たす）。

(ii) $a ≦ 3 ≦ 2 a$ すなわち $\frac{3}{2} ≦ a ≦ 3$ のとき、 $m = f (3) = 1$ 。
- $f (a) ≧ f (2 a)$ となる条件は $(a - 3)^{2} ≧ (2 a - 3)^{2}$ すなわち $3 a^{2} - 6 a ≦ 0$ より $a ≦ 2$ 。
- $\frac{3}{2} ≦ a ≦ 2$ のとき $M = f (a)$ 、 $M - m = (a - 3)^{2} = 3$ より $a = 3 \pm 3$ 。 $3 - 3 \approx 1.27 < \frac{3}{2}$ なので不適。
- $2 ≦ a ≦ 3$ のとき $M = f (2 a)$ 、 $M - m = (2 a - 3)^{2} = 3$ より $a = \frac{3 \pm 3}{2}$ 。 $\frac{3 + 3}{2} \approx 2.37$ は適する。 $\frac{3 - 3}{2}$ は不適。

(iii) $a ≧ 3$ のとき、 $f$ は増加。 $M - m = f (2 a) - f (a) = 3 a^{2} - 6 a = 3$ より $a^{2} - 2 a - 1 = 0$ 、 $a = 1 \pm 2$ だが $a ≧ 3$ を満たさず不適。

検算： $a = 1$ で $f (1) = 5$ , $f (2) = 2$ 、差 3。 $a = \frac{3 + 3}{2}$ では $m = 1$ , $M = f (3 + 3) = 3 + 1 = 4$ 、差 3。

よって $a = 1, \frac{3 + 3}{2}$ 。

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