2次関数の問題

$f(x)=(x-3{)}^2+1$ なので、グラフは軸 $x=3$、頂点 $(3,1)$ の下に凸の放物線である。定義域 $t\leqq x\leqq t+2$ の幅は $2$ で、その中央は $x=t+1$ である。また
$$f(t)=t^2-6t+10,f(t+2)=(t-1{)}^2+1=t^2-2t+2$$
である。軸 $x=3$ と定義域の位置関係で場合分けする。

(i) $t+2\leqq 3$、すなわち $t\leqq 1$ のとき

定義域で $f(x)$ は減少するので $M(t)=f(t)$、$m(t)=f(t+2)$。条件は
$$t^2-6t+10<2(t^2-2t+2)$$
$$t^2+2t-6>0$$
$t^2+2t-6=0$ の解は $t=-1\pm \sqrt{7}$ なので $t<-1-\sqrt{7}$ または $t>-1+\sqrt{7}$。$-1+\sqrt{7}>1$（$\sqrt{7}>2$ より）なので、$t\leqq 1$ と合わせて $t<-1-\sqrt{7}$。

(ii) $t<3<t+2$、すなわち $1<t<3$ のとき

軸が定義域の内部にあるので $m(t)=f(3)=1$。条件は $M(t)<2$ である。

・$1<t\leqq 2$ のとき、定義域の中央 $t+1$ は $3$ 以下なので、軸から遠い端は $x=t$ であり $M(t)=f(t)=(t-3{)}^2+1$。$(t-3{)}^2+1<2$ より $(t-3{)}^2<1$、すなわち $2<t<4$。これは $1<t\leqq 2$ と共通部分をもたない。

・$2<t<3$ のとき、軸から遠い端は $x=t+2$ であり $M(t)=f(t+2)=(t-1{)}^2+1$。$(t-1{)}^2<1$ より $0<t<2$。これは $2<t<3$ と共通部分をもたない。

よって (ii) では条件を満たす $t$ はない。

(iii) $t\geqq 3$ のとき

定義域で $f(x)$ は増加するので $M(t)=f(t+2)$、$m(t)=f(t)$。条件は
$$t^2-2t+2<2(t^2-6t+10)$$
$$t^2-10t+18>0$$
$t^2-10t+18=0$ の解は $t=5\pm \sqrt{7}$ なので $t<5-\sqrt{7}$ または $t>5+\sqrt{7}$。$5-\sqrt{7}<3$（$\sqrt{7}>2$ より）なので、$t\geqq 3$ と合わせて $t>5+\sqrt{7}$。

(i)〜(iii) より、求める範囲は
$$t<-1-\sqrt{7},5+\sqrt{7}<t$$
（グラフが軸 $x=3$ に関して対称なので、定義域の中央 $t+1$ が $x=3$ に関して対称な位置にあるとき、すなわち $t$ と $4-t$ で状況が同じになる。実際 $-1-\sqrt{7}$ と $5+\sqrt{7}$ の和は $4$ である。）

$f(x)=(x-3{)}^2+1$。区間 $[t,t+2]$ の中点は $t+1$。

最小値 $m(t)$:
- $t<1$ のとき $m=f(t+2)=(t-1{)}^2+1$
- $1\leqq t\leqq 3$ のとき $m=1$
- $t>3$ のとき $m=f(t)=(t-3{)}^2+1$

最大値 $M(t)$:
- $t<2$ のとき $M=f(t)=(t-3{)}^2+1$
- $t\geqq 2$ のとき $M=f(t+2)=(t-1{)}^2+1$

場合分けして $M<2m$ を調べる。

(i) $t<1$:
$(t-3{)}^2+1<2(t-1{)}^2+2$ より $t^2+2t-6>0$。したがって $t<-1-\sqrt{7}$ または $t>-1+\sqrt{7}$。$t<1$ との共通部分は $t<-1-\sqrt{7}$。

(ii) $1\leqq t<2$:
$M=(t-3{)}^2+1<2$ より $2<t<4$。これは $1\leqq t<2$ と共通部分がなく、解なし。

(iii) $2\leqq t\leqq 3$:
$(t-1{)}^2+1<2$ より $0<t<2$。これは $2\leqq t\leqq 3$ と共通部分がなく、解なし。

(iv) $t>3$:
$(t-1{)}^2+1<2(t-3{)}^2+2$ より $t^2-10t+18>0$。したがって $t<5-\sqrt{7}$ または $t>5+\sqrt{7}$。$5-\sqrt{7}\approx 2.35<3$ なので、$t>3$ との共通部分は $t>5+\sqrt{7}$。

検算:
- $t=-5$ のとき $M=f(-5)=65$、$m=f(-3)=37$ で $65<74$ となり成り立つ。
- $t=0$ のとき $M=f(0)=10$、$m=f(2)=2$ で $10<4$ は偽。
- $t=8$ のとき $M=f(10)=65$、$m=f(8)=26$ で $65<52$ は偽。
- $t=10$ のとき $M=f(12)=82$、$m=f(10)=50$ で $82<100$ となり成り立つ。

よって $t<-1-\sqrt{7}$ または $t>5+\sqrt{7}$。