2次関数の問題

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+2a+3$ なので、グラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x=a$ である。また
$$f(0)=2a+3,f(2)=7-2a,f(a)=-a^2+2a+3$$
である。以下、差 $D(a)=M(a)-m(a)$ を、軸の位置と定義域の中央 $x=1$ との位置関係で場合分けして求める。

(i) $a<0$ のとき

$0\leqq x\leqq 2$ で $f(x)$ は増加する。よって $M(a)=f(2)$, $m(a)=f(0)$ であり、
$$D(a)=(7-2a)-(2a+3)=4-4a$$
$4-4a\leqq a+1$ を解くと $a\geqq \frac{3}{5}$ となる。これは $a<0$ を満たさないので、解はない。

(ii) $0\leqq a\leqq 1$ のとき

軸が定義域内にあるので $m(a)=f(a)$ である。また $f(2)-f(0)=4-4a\geqq 0$ なので $M(a)=f(2)$ である。よって
$$D(a)=(7-2a)-(-a^2+2a+3)=a^2-4a+4$$
$a^2-4a+4\leqq a+1$ より $a^2-5a+3\leqq 0$ である。$a^2-5a+3=0$ の解は $a=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$ なので
$$\frac{5-\sqrt{13}}{2}\leqq a\leqq \frac{5+\sqrt{13}}{2}$$
となる。$3<\sqrt{13}<4$ より $\frac{1}{2}<\frac{5-\sqrt{13}}{2}<1$ であり、また $\frac{5+\sqrt{13}}{2}>1$ である。よって $0\leqq a\leqq 1$ との共通部分は
$$\frac{5-\sqrt{13}}{2}\leqq a\leqq 1$$

(iii) $1<a\leqq 2$ のとき

$m(a)=f(a)$ である。また $f(0)-f(2)=4a-4>0$ なので $M(a)=f(0)$ である。よって
$$D(a)=(2a+3)-(-a^2+2a+3)=a^2$$
$a^2\leqq a+1$ より $a^2-a-1\leqq 0$ であり、
$$\frac{1-\sqrt{5}}{2}\leqq a\leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
となる。$2<\sqrt{5}<3$ より $1<\frac{1+\sqrt{5}}{2}<2$ なので、$1<a\leqq 2$ との共通部分は
$$1<a\leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

(iv) $a>2$ のとき

$0\leqq x\leqq 2$ で $f(x)$ は減少する。よって $M(a)=f(0)$, $m(a)=f(2)$ であり、
$$D(a)=(2a+3)-(7-2a)=4a-4$$
$4a-4\leqq a+1$ を解くと $a\leqq \frac{5}{3}$ となる。これは $a>2$ を満たさないので、解はない。

(i)〜(iv) をまとめると、求める範囲は
$$\frac{5-\sqrt{13}}{2}\leqq a\leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+2a+3$ であり、$f(0)=2a+3$、$f(2)=7-2a$、$f(a)=-a^2+2a+3$ である。軸 $x=a$ と区間 $[0,2]$ の位置関係で場合分けする。

(i) $a<0$ のとき: $M=f(2)=7-2a$、$m=f(0)=2a+3$ より $M-m=4-4a$。$4-4a\leqq a+1$ から $a\geqq \frac{3}{5}$ となり、$a<0$ に反するので解なし。

(ii) $0\leqq a\leqq 1$ のとき: $M=f(2)=7-2a$、$m=f(a)=-a^2+2a+3$ より $M-m=a^2-4a+4=(a-2{)}^2$。$(a-2{)}^2\leqq a+1$ から $a^2-5a+3\leqq 0$、すなわち $\frac{5-\sqrt{13}}{2}\leqq a\leqq \frac{5+\sqrt{13}}{2}$。$\frac{5-\sqrt{13}}{2}\approx 0.697$ なので、解は $\frac{5-\sqrt{13}}{2}\leqq a\leqq 1$。

(iii) $1<a\leqq 2$ のとき: $M=f(0)=2a+3$、$m=f(a)$ より $M-m=a^2$。$a^2\leqq a+1$ から $a^2-a-1\leqq 0$、すなわち $a\leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$。解は $1<a\leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

(iv) $a>2$ のとき: $M=f(0)=2a+3$、$m=f(2)=7-2a$ より $M-m=4a-4$。$4a-4\leqq a+1$ から $a\leqq \frac{5}{3}$ となり、$a>2$ に反するので解なし。

以上より $\frac{5-\sqrt{13}}{2}\leqq a\leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

検算: $a=1$ では $M-m=1\leqq 2$ で成立する。$a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ では $a^2=a+1$ で等号が成立する。