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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

$a$ を実数の定数とし、 $x$ の 2 次関数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 2 a$ を考える。 $0 ≦ x ≦ 2$ における $f (x)$ の最大値が $6$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

文字を含む2次関数の最大・最小の場合分け（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「文字を含む2次関数の最大・最小の場合分け」を使います。まず平方完成して軸を求め、軸と定義域の位置関係を考えましょう。

ヒント 2

下に凸の放物線の最大値は、定義域の両端のうち軸から遠いほうでとります。軸 $x = a$ が定義域の中央 $x = 1$ より左か右かで場合分けしましょう。

ヒント 3

$f (x) = (x - a)^{2} - a^{2} + 2 a$ 、 $f (0) = 2 a$ 、 $f (2) = 4 - 2 a$ です。 $a ≦ 1$ のとき最大値は $f (2)$ 、 $a ≧ 1$ のとき最大値は $f (0)$ です。それぞれが $6$ になる $a$ を求め、場合の条件を満たすか確かめましょう。

答えと解説

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{- 1, 3}

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解説を読む

手順1：平方完成して軸を求める。
$f (x) = x^{2} - 2 a x + 2 a = (x - a)^{2} - a^{2} + 2 a$
グラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x = a$ である。

手順2：場合分けの基準を決める。
下に凸の放物線では、定義域の両端のうち軸から遠いほうで最大になる。定義域 $0 ≦ x ≦ 2$ の中央は $x = \frac{0 + 2}{2} = 1$ である。そこで、軸 $x = a$ が中央 $x = 1$ より左か右かで場合分けする。

あらかじめ両端の値を計算しておく。
$f (0) = 2 a, f (2) = 4 - 4 a + 2 a = 4 - 2 a$

手順3：場合ごとに最大値を $a$ の式で表す。

(i) $a < 1$ のとき
軸は中央より左にあるので、軸から遠いのは $x = 2$ である。最大値は $f (2) = 4 - 2 a$ となる。

(ii) $a = 1$ のとき
軸は中央と一致し、 $f (0) = f (2) = 2$ である。最大値は $2$ となる。

(iii) $a > 1$ のとき
軸は中央より右にあるので、軸から遠いのは $x = 0$ である。最大値は $f (0) = 2 a$ となる。

(ii) の値は (i) の式に $a = 1$ を代入した値とも、(iii) の式に $a = 1$ を代入した値とも一致する。よって最大値を $M$ とすると、
$M = {4 - 2 a 2 a (a ≦ 1) (a ≧ 1)$

手順4： $M = 6$ となる $a$ を場合ごとに求める。
- $a ≦ 1$ のとき： $4 - 2 a = 6$ より $a = - 1$ 。これは $a ≦ 1$ を満たす。
- $a ≧ 1$ のとき： $2 a = 6$ より $a = 3$ 。これは $a ≧ 1$ を満たす。

確認
- $a = - 1$ のとき $f (x) = x^{2} + 2 x - 2$ で、 $f (0) = - 2$ 、 $f (2) = 6$ となり、最大値は $6$ である。
- $a = 3$ のとき $f (x) = x^{2} - 6 x + 6$ で、 $f (0) = 6$ 、 $f (2) = - 2$ となり、最大値は $6$ である。

よって求める $a$ の値は $a = - 1, 3$ である。

別解

$f (x) = x^{2} - 2 a x + 2 a$ は下に凸の放物線なので、区間 $0 ≦ x ≦ 2$ での最大値は端点 $x = 0, 2$ のどちらかでとる。
$f (0) = 2 a$ 、 $f (2) = 4 - 4 a + 2 a = 4 - 2 a$ である。
$2 a ≧ 4 - 2 a$ となるのは $a ≧ 1$ のときである。

(i) $a ≧ 1$ のとき、最大値は $f (0) = 2 a$ 。 $2 a = 6$ より $a = 3$ で、 $a ≧ 1$ を満たす。
(ii) $a < 1$ のとき、最大値は $f (2) = 4 - 2 a$ 。 $4 - 2 a = 6$ より $a = - 1$ で、 $a < 1$ を満たす。

検算：
$a = 3$ のとき $f (x) = x^{2} - 6 x + 6$ 、 $f (0) = 6$ 、 $f (2) = - 2$ なので最大値は $6$ 。
$a = - 1$ のとき $f (x) = x^{2} + 2 x - 2$ 、 $f (0) = - 2$ 、 $f (2) = 6$ なので最大値は $6$ 。

よって $a = - 1, 3$ 。

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