文字を含む2次関数の最大・最小の場合分け

$f (x) = x^{2} - 2 a x + 3 a (- 1 ≦ x ≦ 2)$ のように軸や定義域が文字を含むとき、軸と定義域の位置関係（軸が区間の左・中・右、区間の中央との大小）で場合分けして、最大値 $M (a)$ ・最小値 $m (a)$ を $a$ の式で表せる

前提

定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）

説明

軸の位置や定義域に文字 $a$ が含まれる2次関数では、 $a$ の値によってグラフのどの部分が定義域に入るかが変わります。そのため、最大値・最小値をとる場所も $a$ によって変わります。この技能では、軸と定義域の位置関係で場合分けをして、最大値 $M (a)$ ・最小値 $m (a)$ を $a$ の式で表します。「最小値が○○になる $a$ を求めよ」のような問題でも使います。

なぜそうしてよいのか

$x^{2}$ の係数が正の2次関数（下に凸）を例に考えます。グラフは軸 $x = p$ で最も低く、軸から離れるほど高くなります。定義域 $α ≦ x ≦ β$ で一番低い点は、軸が区間の中にあれば頂点です。軸が区間より左（ $p < α$ ）なら、区間全体で関数は増加しているので左端 $x = α$ が一番低くなります。軸が区間より右（ $p > β$ ）なら、区間全体で減少しているので右端 $x = β$ が一番低くなります。つまり最小値は「軸が区間の左・中・右のどこにあるか」で決まります。

一番高い点は、必ず区間の端のどちらかです。下に凸のグラフでは軸から遠い点ほど高いので、軸から遠い方の端で最大になります。どちらの端が遠いかは、軸が区間の中央 $\frac{α + β}{2}$ より左か右かで決まります。軸が中央より左なら右端 $β$ が遠く、右なら左端 $α$ が遠くなります。ちょうど中央なら、両端で同じ値になります。そのため最大値は「軸と区間の中央の大小」で場合分けします。

文字 $a$ が入っても、この考え方は前提の技能と同じです。 $a$ の値ごとに軸の位置が決まるので、位置ごとに分けて同じ判断をしているだけです。上に凸のグラフでは、最大と最小の役割が入れかわります。

手順

平方完成して軸 $x = p$ （ $a$ を含んでよい）と頂点を求め、 $x^{2}$ の係数の符号から下に凸か上に凸かを確認する。
最小値（下に凸のとき）は、軸の位置で3つに分ける。 $p < α$ なら $f (α)$ 、 $α ≦ p ≦ β$ なら頂点の値 $f (p)$ 、 $p > β$ なら $f (β)$ が最小値になる。
最大値（下に凸のとき）は、軸と区間の中央 $\frac{α + β}{2}$ の大小で分ける。 $p < \frac{α + β}{2}$ なら $f (β)$ 、 $p = \frac{α + β}{2}$ なら $f (α) = f (β)$ 、 $p > \frac{α + β}{2}$ なら $f (α)$ が最大値になる。
各場合の値を $a$ の式で書き、その場合の $a$ の範囲と組にしてまとめる。
最大値・最小値の条件から $a$ を求める問題では、場合ごとに方程式を解く。得られた $a$ がその場合の範囲に入っているかを確かめ、入っていないものは除く。

例題

$f (x) = x^{2} - 2 a x + 2 a + 3 (0 ≦ x ≦ 2)$ の最小値が $2$ となるような定数 $a$ の値をすべて求めよ。

例題の解答

【手順1】平方完成すると $f (x) = (x - a)^{2} - a^{2} + 2 a + 3$ となる。グラフは下に凸で、軸は $x = a$ である。

【手順2・4】軸の位置で場合分けして、最小値 $m (a)$ を求める。
(i) $a < 0$ のとき、軸は区間の左にある。最小値は $m (a) = f (0) = 2 a + 3$ 。
(ii) $0 ≦ a ≦ 2$ のとき、軸は区間の中にある。最小値は頂点の値で $m (a) = - a^{2} + 2 a + 3$ 。
(iii) $a > 2$ のとき、軸は区間の右にある。最小値は $m (a) = f (2) = 4 - 4 a + 2 a + 3 = 7 - 2 a$ 。

【手順5】場合ごとに $m (a) = 2$ を解き、範囲に入るかを確かめる。
(i) $2 a + 3 = 2$ より $a = - \frac{1}{2}$ 。これは $a < 0$ を満たすので適する。
(ii) $- a^{2} + 2 a + 3 = 2$ より $a^{2} - 2 a - 1 = 0$ 、 $a = 1 \pm 2$ 。 $1 + 2 > 2$ 、 $1 - 2 < 0$ なので、どちらも $0 ≦ a ≦ 2$ を満たさず不適。
(iii) $7 - 2 a = 2$ より $a = \frac{5}{2}$ 。これは $a > 2$ を満たすので適する。

よって、求める値は $a = - \frac{1}{2}, \frac{5}{2}$ 。

答え: $- \frac{1}{2}, \frac{5}{2}$

よくある誤り

軸が区間の外にあるのに頂点の値を最小値としてしまう誤り。正しくは、 $0 ≦ x ≦ 2$ で軸が $x = a (a < 0)$ のとき、最小値は $- a^{2} + 2 a + 3$ ではなく $f (0)$ である。
最大値の場合分けを、軸が区間の左・中・右かで行ってしまう誤り。正しくは、下に凸のときの最大値は軸と区間の中央の大小で決まる。 $0 ≦ x ≦ 2$ なら $a < 1$ で $f (2)$ 、 $a > 1$ で $f (0)$ となる（ $a = 1$ では両端が等しい）。
場合ごとに解いた $a$ を、その場合の範囲に入るか確かめずに全部答えてしまう誤り。正しくは、例題の (ii) で出た $a = 1 \pm 2$ は $0 ≦ a ≦ 2$ を満たさないので除く。
場合分けの境目（ $a = α$ や $a = β$ など）を、どの場合にも含めずに落としてしまう誤り。正しくは、 $a < 0, 0 ≦ a ≦ 2, a > 2$ のように、すべての $a$ がどこか1つの場合に入るように不等号を決める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

つねに成り立つ2次不等式（数学I 2次関数）