2次関数の問題

$C_t$ の式を求める。

$C:y=x^2-4x+6=(x-2{)}^2+2$ の頂点は $(2,2)$ である。これを $x$ 軸方向に $t$、$y$ 軸方向に $t^2-3t$ だけ平行移動すると、頂点は $(2+t,t^2-3t+2)$ に移る。$x^2$ の係数は変わらないので、
$$C_t:y=f_t(x)=(x-2-t{)}^2+t^2-3t+2$$
となる。軸は $x=2+t$ であり、グラフは下に凸である。

$m(t)$ を求める。 軸 $x=2+t$ と区間 $0\leqq x\leqq 2$ の位置関係で場合分けする。

(i) $2+t<0$、すなわち $t<-2$ のとき

軸が区間の左にあるので、$f_t(x)$ は区間で増加し、$x=0$ で最小となる。
$$m(t)=f_t(0)=(2+t{)}^2+t^2-3t+2=2t^2+t+6$$

(ii) $0\leqq 2+t\leqq 2$、すなわち $-2\leqq t\leqq 0$ のとき

軸が区間内にあるので、頂点で最小となる。
$$m(t)=t^2-3t+2$$

(iii) $2+t>2$、すなわち $t>0$ のとき

軸が区間の右にあるので、$f_t(x)$ は区間で減少し、$x=2$ で最小となる。
$$m(t)=f_t(2)=t^2+t^2-3t+2=2t^2-3t+2$$

$m(t)$ の最小値を求める。

(i) $t<-2$ のとき、$m(t)=2{\left(t+\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{47}{8}$ である。軸 $t=-\frac{1}{4}$ より左の範囲なので $m(t)$ は減少する。よって $m(t)>m(-2)=8-2+6=12$ である。

(ii) $-2\leqq t\leqq 0$ のとき、$m(t)={\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$ である。軸 $t=\frac{3}{2}$ より左の範囲なので $m(t)$ は減少する。よって $m(t)\geqq m(0)=2$ である。

(iii) $t>0$ のとき、$m(t)=2{\left(t-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{7}{8}$ である。$t=\frac{3}{4}$ はこの範囲に含まれるので、最小値は $m\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{7}{8}$ である。

(i)〜(iii) の最小値を比べると $\frac{7}{8}<2<12$ である。したがって、$m(t)$ は $t=\frac{3}{4}$ のとき最小値 $\frac{7}{8}$ をとる。

(確認) $t=\frac{3}{4}$ のとき $f_t(2)={\left(-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{9}{16}-\frac{9}{4}+2=\frac{9+9-36+32}{16}=\frac{7}{8}$ となり、上の結果と一致する。

答え: $\frac{7}{8}$

$C:y=(x-2{)}^2+2$ を平行移動すると、$C_t:y=(x-2-t{)}^2+t^2-3t+2$。頂点の $x$ 座標は $t+2$。

(i) $t\le -2$ のとき、$[0,2]$ で単調増加なので最小値は $x=0$ のとき。$m(t)=(t+2{)}^2+t^2-3t+2=2t^2+t+6$。これは $t\le -2$ で減少するので、最小は $t=-2$ のとき $12$。

(ii) $-2\le t\le 0$ のとき、頂点が区間内にあるので $m(t)=t^2-3t+2$。これは $t\le 3/2$ で減少するので、最小は $t=0$ のとき $2$。

(iii) $t\ge 0$ のとき、$[0,2]$ で単調減少なので最小値は $x=2$ のとき。$m(t)=t^2+t^2-3t+2=2t^2-3t+2=2(t-3/4{)}^2+7/8$。最小は $t=3/4$ のとき $7/8$。

検算：$t=3/4$ のとき $x=2$ で $y=(3/4{)}^2+9/16-9/4+2=9/16+9/16-36/16+32/16=14/16=7/8$。

(i)〜(iii) を比べて、$m(t)$ の最小値は $7/8$。