2次関数の問題

頂点を求める

$C$ の式を平方完成すると
$$y=(x-a{)}^2-a^2+2a^2-4a+3=(x-a{)}^2+a^2-4a+3$$
なので、$C$ の頂点は $(a,a^2-4a+3)$ である。

$D$ の式を平方完成すると
$$y=(x-3{)}^2-5$$
なので、$D$ の頂点は $(3,-5)$ である。

平行移動の量を求める

$C$ と $D$ は $x^2$ の係数がどちらも $1$ である。よって、$D$ の頂点を $C$ の頂点に移す平行移動で $D$ は $C$ に重なる。したがって
$$p=a-3,q=(a^2-4a+3)-(-5)=a^2-4a+8$$
となる。これより
$$p+q=a^2-3a+5={\left(a-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}$$
である。

$a$ の範囲を求める

$C$ は下に凸なので、$x$ 軸と共有点をもつ条件は、頂点の $y$ 座標が $0$ 以下であることである。
$$a^2-4a+3\le 0⟺(a-1)(a-3)\le 0⟺1\le a\le 3$$

最大値を求める

$f(a)={\left(a-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}$ の軸は $a=\frac{3}{2}$ である。区間 $1\le a\le 3$ において、軸から最も遠い端は $a=3$ である（軸からの距離は $a=1$ が $\frac{1}{2}$、$a=3$ が $\frac{3}{2}$）。よって最大値は
$$f(3)=9-9+5=5$$
となる。

確認

$a=3$ のとき、$C$ は $y=(x-3{)}^2$ である。これは $D$ を $y$ 軸方向に $5$ 平行移動したもので、$p=0,q=5$ より $p+q=5$ となり、上の結果と一致する。

したがって、$p+q$ の最大値は $5$ である。

$C$ は $y=(x-a{)}^2+a^2-4a+3$ なので、頂点は $(a,a^2-4a+3)$。
$D$ は $y=(x-3{)}^2-5$ なので、頂点は $(3,-5)$。
$C$ は $D$ の平行移動だから、頂点の移動量より
$p=a-3$、$q=a^2-4a+3-(-5)=a^2-4a+8$。
よって $p+q=a^2-3a+5$。

$C$ が $x$ 軸と共有点をもつ条件は、下に凸で頂点の $y$ 座標が $0$ 以下となることなので
$a^2-4a+3\le 0$、すなわち $(a-1)(a-3)\le 0$ より $1\le a\le 3$。

$f(a)=a^2-3a+5=(a-\frac{3}{2}{)}^2+\frac{11}{4}$ を $1\le a\le 3$ で考える。軸 $a=\frac{3}{2}$ から遠い端は $a=3$ なので、最大値は $f(3)=9-9+5=5$（$f(1)=3$）。

検算：$a=3$ のとき $C:y=x^2-6x+9=(x-3{)}^2$ で $x$ 軸に接する。$p=0,q=5$ で、$D$ を $y$ 軸方向に $5$ 平行移動すると $y=x^2-6x+9$ となり一致する。$p+q=5$。

答え：$5$