2次関数の問題

解法 1（頂点の移動を追う）

移動後の放物線は
$$y=-x^2+4x+1=-(x^2-4x)+1=-(x-2{)}^2+5$$
であり、頂点は $(2,5)$、上に凸である。

移動を逆にたどる。まず $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動して戻すと、頂点は $(2-3,5+2)=(-1,7)$ となる。次に原点に関して対称移動して戻すと、頂点は $(1,-7)$ となる。原点に関する対称移動で凸の向きは反転するので、もとの放物線は下に凸で、$x^2$ の係数は $1$ である（もとの式の $x^2$ の係数 $1$ と一致する）。

よってもとの放物線は
$$y=(x-1{)}^2-7=x^2-2x-6$$
であり、$x^2+ax+b$ と比べて $a=-2,b=-6$ である。

解法 2（式で確かめる）

$y=x^2+ax+b$ を原点に関して対称移動すると、$x$ を $-x$、$y$ を $-y$ におきかえて
$$-y=x^2-ax+b\text{すなわち}y=-x^2+ax-b$$
さらに $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると、$x$ を $x-3$、$y$ を $y+2$ におきかえて
$$y+2=-(x-3{)}^2+a(x-3)-b$$
$$y=-x^2+(a+6)x-3a-b-11$$
これが $y=-x^2+4x+1$ と一致するので、係数を比較して
$$a+6=4,-3a-b-11=1$$
第 1 式より $a=-2$。第 2 式に代入して $6-b-11=1$ より $b=-6$。

よって $(a,b)=(-2,-6)$ である。

原点に関する対称移動は $(x,y)\to (-x,-y)$ なので、$y=x^2+ax+b$ は $-y=x^2-ax+b$、すなわち $y=-x^2+ax-b$ に移る。

これを $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $-2$ 平行移動すると
$y+2=-(x-3{)}^2+a(x-3)-b$
$y=-x^2+6x-9+ax-3a-b-2=-x^2+(a+6)x-3a-b-11$。

これが $y=-x^2+4x+1$ と一致するので
$a+6=4$ より $a=-2$、
$-3a-b-11=1$ より $6-b-11=1$ なので $b=-6$。

検算: $y=x^2-2x-6$ を原点対称に移すと $y=-x^2-2x+6$。平行移動して $y+2=-(x-3{)}^2-2(x-3)+6=-x^2+4x+3$、よって $y=-x^2+4x+1$ となり一致する。