2次関数の問題

まず、もとの放物線を平方完成します。
$$y=x^2-6x+7=(x-3{)}^2-2$$
よって、頂点は $(3,-2)$ です。

$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、頂点は $(3+p,-2+q)$ に移ります。$x^2$ の係数は変わらないので、移動後の放物線は
$$y=(x-h{)}^2+k(h=3+p,k=-2+q)$$
と表せます。

点 $(1,2)$ を通るので
$$(1-h{)}^2+k=2(1)$$
点 $(3,10)$ を通るので
$$(3-h{)}^2+k=10(2)$$

$(2)-(1)$ をつくると $k$ が消えます。
$$(3-h{)}^2-(1-h{)}^2=8$$
左辺を展開すると
$$(9-6h+h^2)-(1-2h+h^2)=8-4h$$
なので $8-4h=8$ となり、$h=0$ です。

これを $(1)$ に代入すると $1+k=2$ より $k=1$ です。

したがって移動後の放物線は $y=x^2+1$ です。確認すると、$x=1$ のとき $y=2$、$x=3$ のとき $y=10$ となり、2 点を通っています。

最後に $h=3+p=0$ より $p=-3$、$k=-2+q=1$ より $q=3$ です。

よって $(p,q)=(-3,3)$ です。

移動後の放物線は $y-q=(x-p{)}^2-6(x-p)+7$ すなわち $y=(x-p{)}^2-6(x-p)+7+q$ である。

点 $(1,2)$ を通るから $2=(1-p{)}^2-6(1-p)+7+q$。展開すると $(1-p{)}^2=p^2-2p+1$、$-6(1-p)=-6+6p$ なので、$2=p^2+4p+2+q$ より $q=-p^2-4p$ …①

点 $(3,10)$ を通るから $10=(3-p{)}^2-6(3-p)+7+q$。$(3-p{)}^2=p^2-6p+9$、$-6(3-p)=-18+6p$ なので、$10=p^2-2+q$ より $q=12-p^2$ …②

①②より $-p^2-4p=12-p^2$ なので $-4p=12$、$p=-3$。
②より $q=12-9=3$。

検算：移動後の放物線は $y=(x+3{)}^2-6(x+3)+7+3=x^2+6x+9-6x-18+10=x^2+1$。$x=1$ のとき $y=2$、$x=3$ のとき $y=10$ で条件を満たす。

よって $(p,q)=(-3,3)$。