2次関数の問題

移動の順序を逆にたどって、もとのグラフを求める。

手順 1：$x$ 軸に関する対称移動をもとに戻す

$x$ 軸に関する対称移動は $y$ を $-y$ に置きかえる操作であり、2 回行うともとに戻る。したがって、平行移動した直後のグラフは $y=-2x^2+4x+1$ の $y$ を $-y$ に置きかえた
$$-y=-2x^2+4x+1⟺y=2x^2-4x-1$$
である。平方完成すると
$$y=2(x^2-2x)-1=2(x-1{)}^2-2-1=2(x-1{)}^2-3$$
となり、頂点は $(1,-3)$ である。

手順 2：平行移動をもとに戻す

もとのグラフを $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動したものが $y=2(x-1{)}^2-3$ である。平行移動では $x^2$ の係数は変わらず、頂点だけが移動する。もとのグラフの頂点を $(p,q)$ とすると
$$p+2=1,q-3=-3$$
より $p=-1,q=0$ である。よって、もとのグラフは
$$y=2(x+1{)}^2=2x^2+4x+2$$
である。

したがって $a=2,b=4,c=2$ であり、求める組は $(2,4,2)$ である。

確認

$y=2(x+1{)}^2$ （頂点 $(-1,0)$）を $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-3$ 平行移動すると、頂点が $(1,-3)$ に移り $y=2(x-1{)}^2-3$ となる。これを $x$ 軸に関して対称移動すると
$$y=-2(x-1{)}^2+3=-2x^2+4x+1$$
となり、条件に一致する。

$y=a{x}^2+bx+c$ を $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-3$ 平行移動すると $y+3=a(x-2{)}^2+b(x-2)+c$、すなわち $y=a(x-2{)}^2+b(x-2)+c-3$。

さらに $x$ 軸に関して対称移動すると $y=-\{a(x-2{)}^2+b(x-2)+c-3\}$。これが $y=-2x^2+4x+1$ と一致するので
$$a(x-2{)}^2+b(x-2)+c-3=2x^2-4x-1.$$
左辺を展開すると $a{x}^2+(-4a+b)x+4a-2b+c-3$。係数を比較して
$a=2$、$-4a+b=-4$ より $b=4$、$4a-2b+c-3=-1$ より $8-8+c-3=-1$ で $c=2$。

よって $(a,b,c)=(2,4,2)$。

検算: $y=2x^2+4x+2$ を平行移動すると $y=2(x-2{)}^2+4(x-2)+2-3=2x^2-4x-1$、$x$ 軸対称で $y=-2x^2+4x+1$ となり一致する。