2次関数の問題

$C$ の頂点を求める。
$$y=x^2-2(a-1)x+2a^2-5a+1=\{x-(a-1){\}}^2-(a-1{)}^2+2a^2-5a+1$$
と変形する。ここで
$$-(a-1{)}^2+2a^2-5a+1=-(a^2-2a+1)+2a^2-5a+1=a^2-3a$$
であるから
$$y=\{x-(a-1){\}}^2+a^2-3a$$
となる。よって $C$ の頂点は $(a-1,a^2-3a)$ である。

$C^{\prime }$ の頂点を求める。
平行移動ではグラフの形は変わらず、頂点も同じように移動する。$x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ移動するので、$C^{\prime }$ の頂点は
$$(a-1+2,a^2-3a-1)=(a+1,a^2-3a-1)$$
である。

条件を式にする。
この点が直線 $y=2x-3$ 上にあるための条件は
$$a^2-3a-1=2(a+1)-3$$
である。右辺は $2a-1$ なので
$$a^2-3a-1=2a-1$$
$$a^2-5a=0$$
$$a(a-5)=0$$
となる。よって $a=0,5$ である。

（確認）$a=0$ のとき $C^{\prime }$ の頂点は $(1,-1)$ で、$2\cdot 1-3=-1$ より直線上にある。$a=5$ のとき $C^{\prime }$ の頂点は $(6,9)$ で、$2\cdot 6-3=9$ より直線上にある。

答えは $a=0,5$ である。

$C:y=x^2-2(a-1)x+2a^2-5a+1$ を平方完成すると、$y=(x-(a-1){)}^2-(a-1{)}^2+2a^2-5a+1$ となる。
定数項は $-(a^2-2a+1)+2a^2-5a+1=a^2-3a$ なので、頂点は $(a-1,a^2-3a)$。

$x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-1$ 平行移動すると、$C^{\prime }$ の頂点は $(a+1,a^2-3a-1)$。

これが直線 $y=2x-3$ 上にある条件は
$a^2-3a-1=2(a+1)-3=2a-1$
よって $a^2-5a=0$、$a(a-5)=0$ より $a=0,5$。

検算:
$a=0$ のとき、$C$ の頂点は $(-1,0)$、$C^{\prime }$ の頂点は $(1,-1)$。$2\cdot 1-3=-1$ で一致。
$a=5$ のとき、$C$ の頂点は $(4,-5)$、$C^{\prime }$ の頂点は $(6,-6)$。$2\cdot 6-3=9$ …となり不一致に見えるので再確認する。
$a=5$: $a^2-3a=25-15=10$。したがって $C$ の頂点は $(4,10)$、$C^{\prime }$ の頂点は $(6,9)$。$2\cdot 6-3=9$ で一致。

答えは $a=0,5$。