2次関数の問題

平方完成すると
$$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+a+2$$
です。グラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x=a$ です。軸が定義域 $0\leqq x\leqq 2$ に対してどこにあるかで場合分けします。

(i) $a<0$ のとき

軸は定義域の左側にあります。$f(x)$ は $0\leqq x\leqq 2$ で増加するので、最小値は
$$f(0)=a+2$$
です。$a+2=-1$ を解くと $a=-3$ です。これは $a<0$ を満たすので適します。

(ii) $0\leqq a\leqq 2$ のとき

軸は定義域内にあるので、最小値は頂点の $y$ 座標
$$f(a)=-a^2+a+2$$
です。$-a^2+a+2=-1$ とすると $a^2-a-3=0$ となり、
$$a=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$$
です。$3<\sqrt{13}<4$ より、
- $\frac{1+\sqrt{13}}{2}>\frac{1+3}{2}=2$
- $\frac{1-\sqrt{13}}{2}<\frac{1-3}{2}=-1<0$

となり、どちらも $0\leqq a\leqq 2$ を満たしません。よって、この場合に適する $a$ はありません。

(iii) $a>2$ のとき

軸は定義域の右側にあります。$f(x)$ は $0\leqq x\leqq 2$ で減少するので、最小値は
$$f(2)=4-4a+a+2=6-3a$$
です。$6-3a=-1$ を解くと $a=\frac{7}{3}$ です。これは $a>2$ を満たすので適します。

確認
- $a=-3$ のとき：$f(0)=-3+2=-1$
- $a=\frac{7}{3}$ のとき：$f(2)=4-\frac{28}{3}+\frac{7}{3}+2=-1$

以上より、求める $a$ の値は $a=-3,\frac{7}{3}$ です。

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+a+2$ と変形できる。軸は $x=a$ なので、$a$ の位置で場合分けする。

(i) $a<0$ のとき、区間 $0\leqq x\leqq 2$ で $f$ は増加する。最小値は $f(0)=a+2$ である。$a+2=-1$ より $a=-3$ となり、$a<0$ を満たす。

(ii) $0\leqq a\leqq 2$ のとき、最小値は頂点の値 $f(a)=-a^2+a+2$ である。$-a^2+a+2=-1$ より $a^2-a-3=0$、すなわち $a=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$ となる。$\frac{1+\sqrt{13}}{2}\approx 2.30>2$、$\frac{1-\sqrt{13}}{2}\approx -1.30<0$ なので、どちらも範囲外であり不適。

(iii) $a>2$ のとき、区間で $f$ は減少する。最小値は $f(2)=4-4a+a+2=6-3a$ である。$6-3a=-1$ より $a=\frac{7}{3}$ となり、$a>2$ を満たす。

検算：$a=-3$ では $f(x)=x^2+6x-1$ で、$f(0)=-1$ であり、$[0,2]$ で増加する。$a=\frac{7}{3}$ では $f(2)=4-\frac{28}{3}+\frac{7}{3}+2=-1$ であり、軸が区間の右側にあるので $[0,2]$ で減少する。

よって $a=-3,\frac{7}{3}$。