2次関数の問題

$t$ のとりうる値の範囲

$t=x^2+2x$ とおくと $t=(x+1{)}^2-1$ である。$-2\leqq x\leqq 2$ のとき $-1\leqq x+1\leqq 3$ なので $0\leqq (x+1{)}^2\leqq 9$ となり、
$$-1\leqq t\leqq 8$$
である。逆にこの範囲のすべての $t$ の値は、ある $x$（$-2\leqq x\leqq 2$）に対応してとられる。

よって $f(x)$ の最小値は、
$$g(t)=t^2-2at+4a=(t-a{)}^2-a^2+4a(-1\leqq t\leqq 8)$$
の最小値 $m$ に等しい。$y=g(t)$ は軸が $t=a$ の下に凸の放物線である。

場合分け

(i) $a<-1$ のとき：軸が区間の左外にあるので、$g(t)$ は区間で増加し、最小値は
$$m=g(-1)=1+2a+4a=6a+1$$
$6a+1=-12$ とすると $a=-\frac{13}{6}$。これは $a<-1$ を満たす。

(ii) $-1\leqq a\leqq 8$ のとき：軸が区間内にあるので、最小値は
$$m=g(a)=-a^2+4a$$
$-a^2+4a=-12$ とすると $a^2-4a-12=0$、$(a-6)(a+2)=0$ より $a=6,-2$。$-1\leqq a\leqq 8$ を満たすのは $a=6$ のみ。

(iii) $a>8$ のとき：軸が区間の右外にあるので、$g(t)$ は区間で減少し、最小値は
$$m=g(8)=64-16a+4a=64-12a$$
$64-12a=-12$ とすると $a=\frac{19}{3}$。これは $a>8$ を満たさないので不適。

以上より、求める $a$ の値は
$$a=-\frac{13}{6},6$$
である。

（確認）$a=6$ のとき $g(t)=(t-6{)}^2-12$ で、$t=6$ は $-1\leqq t\leqq 8$ に含まれ（$x=-1+\sqrt{7}$ のとき）、最小値 $-12$。$a=-\frac{13}{6}$ のとき $g(-1)=1-\frac{13}{3}-\frac{26}{3}=-12$ で、これが最小値である。

$t=x^2+2x=(x+1{)}^2-1$ とおくと、$-2\leqq x\leqq 2$ で $-1\leqq t\leqq 8$。
$f=g(t)=t^2-2at+4a=(t-a{)}^2-a^2+4a$ の $-1\leqq t\leqq 8$ における最小値が $-12$ となる $a$ を求める。

(i) $a<-1$ のとき: 最小値は $g(-1)=1+2a+4a=6a+1$。$6a+1=-12$ より $a=-\frac{13}{6}$。これは $a<-1$ を満たす。

(ii) $-1\leqq a\leqq 8$ のとき: 最小値は $g(a)=-a^2+4a$。$-a^2+4a=-12$ より $a^2-4a-12=0$、$(a-6)(a+2)=0$、$a=6,-2$。このうち $-1\leqq a\leqq 8$ を満たすのは $a=6$。

(iii) $a>8$ のとき: 最小値は $g(8)=64-16a+4a=64-12a$。$64-12a=-12$ より $a=\frac{19}{3}$。これは $a>8$ を満たさず不適。

以上より $a=-\frac{13}{6},6$。

検算: $a=6$ のとき $g(6)=36-72+24=-12$ で $t=6\in [-1,8]$。$a=-\frac{13}{6}$ のとき $g(-1)=1-\frac{13}{3}\cdot ...$ すなわち $1+6\cdot (-\frac{13}{6})=1-13=-12$ で、軸 $t=a<-1$ より $[-1,8]$ では $t=-1$ で最小。