2次関数の問題

平方完成すると
$$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+a+2$$
となる。グラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x=a$ である。定義域 $0\leqq x\leqq 2$ に対する軸の位置で場合分けし、最小値を $m$ とする。

$(1)$ $a<0$ のとき
軸は定義域の左側にあるので、$f(x)$ は $0\leqq x\leqq 2$ で増加する。よって最小値は
$$m=f(0)=a+2$$
$a+2=-4$ より $a=-6$。これは $a<0$ を満たす。

$(2)$ $0\leqq a\leqq 2$ のとき
軸が定義域内にあるので、最小値は頂点の $y$ 座標であり
$$m=f(a)=-a^2+a+2$$
$-a^2+a+2=-4$ より $a^2-a-6=0$。よって $(a-3)(a+2)=0$ から $a=3,-2$。どちらも $0\leqq a\leqq 2$ を満たさないので不適である。

$(3)$ $a>2$ のとき
軸は定義域の右側にあるので、$f(x)$ は $0\leqq x\leqq 2$ で減少する。よって最小値は
$$m=f(2)=4-4a+a+2=6-3a$$
$6-3a=-4$ より $a=\frac{10}{3}$。これは $a>2$ を満たす。

(確認)$a=-6$ のとき $f(x)=x^2+12x-4$ で、$f(0)=-4$ となる。$a=\frac{10}{3}$ のとき $f(2)=4-\frac{40}{3}+\frac{16}{3}=-4$ となる。

以上より、求める $a$ の値は $a=-6,\frac{10}{3}$ である。

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+a+2$ より、軸は $x=a$ である。$a$ と区間 $0\leqq x\leqq 2$ の位置関係で場合分けする。

(i) $a<0$ のとき、$f$ は $0\leqq x\leqq 2$ で単調増加なので、最小値は $f(0)=a+2$ である。$a+2=-4$ より $a=-6$。これは $a<0$ を満たす。

(ii) $0\leqq a\leqq 2$ のとき、最小値は $f(a)=-a^2+a+2$ である。$-a^2+a+2=-4$ より $a^2-a-6=0$、つまり $(a-3)(a+2)=0$ で $a=3,-2$。どちらも $0\leqq a\leqq 2$ を満たさないので不適。

(iii) $a>2$ のとき、$f$ は $0\leqq x\leqq 2$ で単調減少なので、最小値は $f(2)=4-4a+a+2=6-3a$ である。$6-3a=-4$ より $a=\frac{10}{3}$。これは $a>2$ を満たす。

検算：$a=-6$ のとき $f(x)=x^2+12x-4$ で、$0\leqq x\leqq 2$ で増加し、最小値は $f(0)=-4$。$a=\frac{10}{3}$ のとき $f(2)=4-\frac{40}{3}+\frac{10}{3}+2=-4$ で、軸 $x=\frac{10}{3}>2$ より区間内で減少するから最小値は $-4$。

よって $a=-6,\frac{10}{3}$。