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2次関数

扱うテーマ: 2 次関数のグラフ（頂点・軸・平行移動）、2 次関数の最大・最小（定義域つき、文字を含む場合分け）、2 次方程式の解と判別式、2 次不等式、2 次方程式の解の配置

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
2 次関数 $y = x^{2} + 4 x + 1$ のグラフは放物線である。この放物線の頂点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 次関数 $y = x^{2} - 6 x + 4$ のグラフは放物線である。この放物線の頂点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 次関数 $y = 2 x^{2} - 8 x + 5$ のグラフは放物線である。この放物線の頂点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。2 次不等式 $x^{2} - 2 x - 15 < 0$ を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を実数とする。2 次不等式 $x^{2} - 2 x - 8 ≦ 0$ を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。2 次不等式 $x^{2} - 2 x - 8 ≦ 0$ を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ を $x$ 軸方向に $2$ 、 $y$ 軸方向に $- 4$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。答えは $y = a x^{2} + b x + c$ の形に整理し、右辺の $x$ の式を答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ を、 $x$ 軸方向に $- 3$ 、 $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。答えは $y = a x^{2} + b x + c$ の形で、右辺の式を答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $y = 2 x^{2} - 4 x + 3$ を、 $x$ 軸方向に $2$ 、 $y$ 軸方向に $- 3$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。答えは $y = a x^{2} + b x + c$ の形で表したときの右辺 $a x^{2} + b x + c$ を答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = x^{2} - 2 x - 3 (- 1 ≦ x ≦ 4)$ の最大値と最小値を、この順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = x^{2} - 6 x + 7 (1 ≦ x ≦ 4)$ の最大値と最小値を、この順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = x^{2} - 6 x + 7 (1 ≦ x ≦ 6)$ の最大値と最小値を、この順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ は $a > 4$ を満たす定数とする。 $x$ についての連立不等式
${x^{2} - 4 x > 0 x^{2} - (a - 1) x - a ≦ 0$
を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を $a < 3$ を満たす実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式
${x^{2} - 2 x - 8 < 0 x^{2} - (a + 3) x + 3 a ≦ 0 (1) (2)$
を満たす整数 $x$ がちょうど $2$ 個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ は $a > 3$ を満たす実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式
${x^{2} - 2 x - 24 ≦ 0 x^{2} - (a + 3) x + 3 a < 0 (1) (2)$
を満たす整数 $x$ がちょうど $2$ 個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
グラフの頂点が点 $(1, 4)$ で、点 $(3, - 4)$ を通る放物線をグラフとする 2 次関数を求めよ。答えは $y = a x^{2} + b x + c$ の形に展開して、右辺の式を答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
グラフの頂点が点 $(2, - 3)$ で、点 $(4, 5)$ を通る2次関数を求めよ。答えは $y = a x^{2} + b x + c$ の形に展開したときの右辺 $a x^{2} + b x + c$ で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
グラフの頂点が点 $(2, - 3)$ で、点 $(4, 5)$ を通る2次関数を求めよ。答えは $y = a x^{2} + b x + c$ の形に展開して、右辺の式で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とし、 $x$ の 2 次関数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 2 a$ を考える。 $0 ≦ x ≦ 2$ における $f (x)$ の最大値が $6$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とし、 $x$ の 2 次関数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 3$ を考える。 $0 ≦ x ≦ 2$ における $f (x)$ の最大値が $11$ となるような $a$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ は $a > 3$ を満たす定数とする。 $x$ の 2 次関数
$f (x) = x^{2} - 2 a x + a + 4$
の $0 ≦ x ≦ 3$ における最小値を $a$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 つの 2 次方程式
$x^{2} + 2 a x + a + 2 = 0 \dots (1)$
$x^{2} - 2 a x + 4 a - 3 = 0 \dots (2)$
がある。 $(1)$ , $(2)$ のうち少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 つの 2 次方程式
$x^{2} + 2 a x + a + 2 = 0 (1)$
$x^{2} - 2 a x + 4 a - 3 = 0 (2)$
のうち、少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 つの 2 次方程式
$x^{2} - 2 a x + 2 a + 3 = 0 \dots (1)$
$x^{2} + 4 x + 5 - a = 0 \dots (2)$
がある。 $(1)$ と $(2)$ のうち、少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式
$x^{2} - 2 a x + a + 6 = 0$
が異なる 2 つの実数解をもち、それらがともに $1$ より大きいような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式
$x^{2} - 2 a x + 3 a + 4 = 0$
が異なる 2 つの実数解をもち、それらがともに $2$ より大きいような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} - 2 a x - a + 6 = 0$ が異なる 2 つの実数解をもち、それらがともに $1$ より大きくなるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して、不等式 $x^{2} - 2 a x + a + 6 > 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ について、不等式 $x^{2} - 2 k x + k + 6 > 0$ が成り立つような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ について、不等式 $x^{2} + a x + a + 3 > 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$(x^{2} - 4 x)^{2} + 2 (x^{2} - 4 x) - a = 0$
が $1 ≦ x ≦ 5$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$(x^{2} + 4 x)^{2} - 2 (x^{2} + 4 x) - a = 0$
が $- 3 ≦ x ≦ 1$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$(x^{2} + 2 x)^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) - a = 0$
が $- 3 ≦ x ≦ 1$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
放物線 $y = x^{2} - 6 x + 7$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したところ、移動後の放物線は 2 点 $(1, 2)$ 、 $(3, 10)$ を通った。実数 $p, q$ の組 $(p, q)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 つの 2 次方程式
$x^{2} - 2 k x + k + 6 = 0 \dots (1)$
$x^{2} + 2 (k - 1) x + k^{2} - 4 = 0 \dots (2)$
のうち、一方だけが実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、重解も実数解に含める。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $0 ≦ x ≦ 3$ を満たすすべての実数 $x$ について、不等式
$x^{2} - 2 a x + a + 2 > 0$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ の 2 次関数 $f (x) = - x^{2} + 4 x + 1$ の $a ≦ x ≦ a + 1$ における最大値が $4$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 つの 2 次方程式
$x^{2} + 2 a x + 3 a + 4 = 0 (1)$
$x^{2} - (a - 2) x + a + 1 = 0 (2)$
のうち、ちょうど一方だけが実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式
${x^{2} - 4 x - 5 < 0 x^{2} - (a + 2) x + 2 a ≦ 0$
を満たす整数 $x$ がちょうど $2$ 個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 つの 2 次方程式
$x^{2} - 2 k x + k + 6 = 0 \dots (1)$
$x^{2} + k x + k^{2} - 3 = 0 \dots (2)$
がある。 $(1)$ と $(2)$ のうち、ちょうど一方だけが実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、重解も実数解に含めるものとする。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式
${x^{2} - x - 6 > 0 x^{2} - (a + 1) x + a < 0$
を満たす整数 $x$ がちょうど $2$ 個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ の 2 次関数
$f (x) = x^{2} - 2 a x + a + 2$
の $0 ≦ x ≦ 2$ における最小値が $- 1$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式
$x^{2} - 2 a x + 3 a - 2 = 0$
が、異なる 2 つの実数解をもち、それらがともに $0 < x < 3$ の範囲にあるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とし、放物線
$C : y = x^{2} - 2 (a - 1) x + 2 a^{2} - 5 a + 1$
を考える。放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $2$ 、 $y$ 軸方向に $- 1$ だけ平行移動して得られる放物線を $C^{'}$ とする。 $C^{'}$ の頂点が直線 $y = 2 x - 3$ 上にあるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。関数
$f (x) = x^{2} - 2 a x + a + 2$
の $0 ≦ x ≦ 2$ における最小値が $- 4$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数とし、放物線 $C$ を
$y = x^{2} - 2 a x + 2 a^{2} - 4 a + 3$
で定める。 $C$ は、放物線 $D : y = x^{2} - 6 x + 4$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものである。 $C$ が $x$ 軸と共有点をもつとき、 $p + q$ の最大値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての $2$ つの不等式
$x^{2} - 6 x + 5 < 0 (1)$
$x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 ≦ 0 (2)$
がある。不等式 $(2)$ を満たす実数 $x$ の中に、不等式 $(1)$ を満たすものと満たさないものがともに存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を正の定数とする。 $x$ の 2 次関数 $f (x) = x^{2} - 6 x + 10$ の $a ≦ x ≦ 2 a$ における最大値を $M$ 、最小値を $m$ とする。 $M - m = 3$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$p, q$ を実数とする。放物線 $C : y = x^{2} - 4 x + 1$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動して得られる放物線を $C^{'}$ とする。 $C^{'}$ が点 $(1, 3)$ を通り、かつ $C^{'}$ の頂点の $y$ 座標が $0$ 以上であるとき、 $p + q$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
実数 $x, y$ が $x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} - 4 y - 1 = 0$ を満たしながら動くとき、 $x$ のとりうる値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$t$ を実数の定数とし、 $x$ の 2 次関数 $f (x) = x^{2} - 6 x + 10$ を考える。 $t ≦ x ≦ t + 2$ における $f (x)$ の最大値を $M (t)$ 、最小値を $m (t)$ とする。不等式 $M (t) < 2 m (t)$ が成り立つような $t$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a, b, c$ を実数の定数とし、 $a \neq = 0$ とする。2 次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ のグラフを、 $x$ 軸方向に $2$ 、 $y$ 軸方向に $- 3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したところ、2 次関数 $y = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ のグラフに一致した。組 $(a, b, c)$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} - a x + a^{2} - 3 = 0$ が、 $0 < x < 1$ の範囲と $1 < x < 2$ の範囲に 1 つずつ実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a, b$ を実数の定数とする。放物線 $y = x^{2} + a x + b$ を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に $3$ 、 $y$ 軸方向に $- 2$ だけ平行移動したところ、放物線 $y = - x^{2} + 4 x + 1$ に重なった。 $a, b$ の値の組 $(a, b)$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$p, q$ を実数とする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} + p x + q = 0$ が、 $0 < x < 1$ の範囲と $1 < x < 2$ の範囲に 1 つずつ実数解をもつ。 $p, q$ がこの条件を満たしながら動くとき、 $p + 2 q$ のとりうる値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$p, q$ を実数とし、 $f (x) = x^{2} + p x + q$ とする。 $x$ についての方程式 $f (f (x)) = 0$ の異なる実数解がちょうど $3$ 個であるとき、その $3$ 個の解の和を $S$ とする。 $p, q$ がこの条件を満たしながら動くとき、 $S$ の最大値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とし、 $x$ の 2 次関数
$f (x) = x^{2} - 2 a x + 3 a$
を考える。 $- 1 ≦ x ≦ 2$ における $f (x)$ の最大値を $M (a)$ 、最小値を $m (a)$ とする。 $M (a) - m (a) = 5$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 a (x^{2} - 2 x) + 8 a = 0$
が $0 ≦ x ≦ 3$ の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とし、 $x$ の 2 次関数
$f (x) = x^{2} - 2 a x + 2 a + 3$
を考える。 $0 ≦ x ≦ 2$ における $f (x)$ の最大値を $M (a)$ 、最小値を $m (a)$ とする。
$M (a) - m (a) ≦ a + 1$
を満たす $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ の 2 次方程式
$x^{2} - 2 a x + a + 2 = 0$
が $0 < x < 3$ の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$t$ を実数の定数とする。放物線 $C : y = x^{2} - 4 x + 6$ を、 $x$ 軸方向に $t$ 、 $y$ 軸方向に $t^{2} - 3 t$ だけ平行移動した放物線を $C_{t}$ とする。 $C_{t}$ を表す $2$ 次関数の $0 ≦ x ≦ 2$ における最小値を $m (t)$ とする。 $t$ がすべての実数を動くとき、 $m (t)$ の最小値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 4 次方程式
$x^{4} - a x^{3} + (a^{2} - 3) x^{2} - a x + 1 = 0$
の異なる実数解がちょうど $2$ 個であるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式 $(a - 1) x^{2} - 2 a x + a + 2 = 0$ が $0 < x < 3$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} - 2 a x + 4 a - 3 = 0$ が異なる 2 つの実数解をもち、そのうちちょうど 1 つだけが $1 < x < 4$ の範囲にあるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $k$ を実数とし、 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} - 2 k x + 2 ak - 3 a - 4 = 0$ を考える。 $0 ≦ k ≦ 2$ を満たすどの実数 $k$ に対しても、この方程式が異なる 2 つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x ≧ 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式 $a x^{2} - 2 (a - 1) x + 2 a - 1 ≧ 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。関数 $f (x) = (x^{2} + 2 x)^{2} - 2 a (x^{2} + 2 x) + 4 a$ の $- 2 ≦ x ≦ 2$ における最小値が $- 12$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x, y$ に対して、不等式 $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + 2 a x + 4 y + 20 > 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$t$ を実数とし、放物線 $y = x^{2}$ を $x$ 軸方向に $t$ 、 $y$ 軸方向に $t^{2} - 2 t$ だけ平行移動した放物線を $C_{t}$ とする。 $t$ が $0 ≦ t ≦ 2$ の範囲を動くとき、 $C_{t}$ が通過する点全体の集合を $D$ とする。実数 $p$ に対して、 $D$ に属する点のうち $x$ 座標が $p$ であるものの $y$ 座標の最大値を $M (p)$ 、最小値を $m (p)$ とする。 $M (p) - m (p) = 4$ となるような実数 $p$ の値をすべて求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
放物線 $y = x^{2}$ を平行移動して得られる放物線を $C$ とし、 $C$ を表す 2 次関数を $y = f (x)$ とする。4 点 $A (0, 0)$ , $B (1, 3)$ , $P (3, 1)$ , $Q (4, 6)$ に対して
$M = max {∣ f (0) ∣, ∣ f (1) - 3∣, ∣ f (3) - 1∣, ∣ f (4) - 6∣}$
とおく（ $M$ は 4 点と $C$ との $y$ 軸方向の距離のうち最大のもの）。平行移動の仕方をいろいろに変えるとき、 $M$ を最小にする放物線 $C$ はただ 1 つに定まる。その放物線 $C$ の頂点の座標を求めよ。