2次関数の問題

方針：$(1)$, $(2)$ の判別式をそれぞれ $D_1$, $D_2$ とし、「$(1)$ が実数解をもつ」「$(2)$ が実数解をもつ」条件を $a$ の範囲に直してから、数直線で「少なくとも一方」を満たす範囲（2 つの範囲の和）を読み取ります。

$(1)$ が実数解をもつ条件

$(1)$ は $x$ の係数が $-2a$ なので、$\frac{D_1}{4}$ を使います。
$$\frac{D_1}{4}=(-a{)}^2-1\cdot (2a+3)=a^2-2a-3=(a+1)(a-3)$$
実数解をもつ条件は $D_1\geqq 0$ なので
$$(a+1)(a-3)\geqq 0$$
よって $a\leqq -1,3\leqq a$ $\cdots (3)$

$(2)$ が実数解をもつ条件

$(2)$ は $x$ の係数が $4=2\cdot 2$ なので
$$\frac{D_2}{4}=2^2-1\cdot (5-a)=a-1$$
実数解をもつ条件は $D_2\geqq 0$ なので $a-1\geqq 0$、よって $a\geqq 1$ $\cdots (4)$

数直線で組み合わせる

「少なくとも一方が実数解をもつ」とは、$(3)$ または $(4)$ を満たすことです。数直線上に $(3)$ の範囲（$-1$ 以下と $3$ 以上）と $(4)$ の範囲（$1$ 以上）をかき、どちらか一方でも含まれている部分を読むと
$$a\leqq -1,1\leqq a$$
となります（$3\leqq a$ の部分は $1\leqq a$ に含まれます）。

確認（余事象の考え方）：両方とも実数解をもたないのは $-1<a<3$ かつ $a<1$、すなわち $-1<a<1$ のときです。その外側が答えになるので、結果は一致します。

答え：$a\leqq -1,1\leqq a$

(1) の判別式を $D_1$ とすると、$D_1/4=a^2-(2a+3)=a^2-2a-3=(a-3)(a+1)$。実数解をもつ条件は $D_1\ge 0$ なので、$a\le -1$ または $a\ge 3$。

(2) の判別式を $D_2$ とすると、$D_2/4=2^2-(5-a)=a-1$。実数解をもつ条件は $D_2\ge 0$ なので、$a\ge 1$。

少なくとも一方が実数解をもつ $a$ の範囲は、この 2 つの範囲の和集合である。
$(a\le -1$ または $a\ge 3)$ または $a\ge 1$ より、$a\le -1$ または $a\ge 1$。

検算：$a=0$ のとき (1) は $x^2+3=0$、(2) は $x^2+4x+5=0$ で、どちらも実数解をもたない。$a=1$ のとき (2) は $(x+2{)}^2=0$ で実数解をもつ。$a=-1$ のとき (1) は $x^2+2x+1=0$ で実数解をもつ。いずれも上の範囲と合う。