2次関数の問題

2 次方程式が実数解（重解を含む）をもつための必要十分条件は、判別式が $0$ 以上であることである。

$(1)$ について

$(1)$ の判別式を $D_1$ とすると
$$\frac{D_1}{4}=(-k{)}^2-(k+6)=k^2-k-6=(k-3)(k+2)$$
よって $(1)$ が実数解をもつ条件は $(k-3)(k+2)\geqq 0$、すなわち
$$k\leqq -2\text{または}k\geqq 3\cdots (\text{A})$$

$(2)$ について

$(2)$ の判別式を $D_2$ とすると
$$D_2=k^2-4(k^2-3)=-3k^2+12=-3(k+2)(k-2)$$
よって $(2)$ が実数解をもつ条件は $-3(k+2)(k-2)\geqq 0$、すなわち $(k+2)(k-2)\leqq 0$ より
$$-2\leqq k\leqq 2\cdots (\text{B})$$

ちょうど一方だけが実数解をもつ条件

「(A) を満たし (B) を満たさない」または「(B) を満たし (A) を満たさない」場合を考える。

(i) (A) を満たし (B) を満たさない場合：(B) を満たさないのは $k<-2$ または $k>2$。これと (A) の共通部分は
$$k<-2\text{または}k\geqq 3$$

(ii) (B) を満たし (A) を満たさない場合：(A) を満たさないのは $-2<k<3$。これと (B) の共通部分は
$$-2<k\leqq 2$$

(i), (ii) を合わせて
$$k<-2,-2<k\leqq 2,3\leqq k$$

なお、$k=-2$ のとき $(1)$ は $x^2+4x+4=0$、$(2)$ は $x^2-2x+1=0$ となり、どちらも重解をもつ。つまり両方が実数解をもつので、$k=-2$ は除かれる。

答え：$k<-2,-2<k\leqq 2,3\leqq k$

(1) の判別式を $D_1$ とすると $D_1/4=k^2-(k+6)=(k-3)(k+2)$。実数解をもつ条件は $D_1\ge 0$ より $k\le -2$ または $k\ge 3$。

(2) の判別式を $D_2$ とすると $D_2=k^2-4(k^2-3)=12-3k^2=3(2-k)(2+k)$。実数解をもつ条件は $D_2\ge 0$ より $-2\le k\le 2$。

(1) が実数解をもつ $k$ の集合を $A$、(2) が実数解をもつ $k$ の集合を $B$ とする。ちょうど一方だけが実数解をもつのは、$A$ と $B$ の一方にだけ属する場合である。

• $A$ だけに属する: $k<-2$ または $k\ge 3$
• $B$ だけに属する: $-2<k\le 2$
• $A\cap B=\{-2\}$ なので $k=-2$ は両方が実数解をもち不適
• $2<k<3$ はどちらも実数解をもたず不適

検算: $k=-2$ のとき、(1) は $x^2+4x+4=0$ で重解 $x=-2$、(2) は $x^2-2x+1=0$ で重解 $x=1$。両方が実数解をもつので不適。$k=0$ のとき、(1) は $x^2+6=0$ で実数解なし、(2) は $x^2-3=0$ で実数解あり。ちょうど一方なので適する。$k=2.5$ のとき、$D_1/4=(2.5-3)(2.5+2)=-2.25<0$、$D_2=12-18.75<0$。どちらも実数解なしで不適。$k=3$ のとき、(1) は重解 $x=3$、(2) は $D_2=12-27<0$。ちょうど一方なので適する。

よって $k<-2,-2<k\le 2,k\ge 3$。