2次関数の問題

2 次方程式が実数解をもつのは、判別式が $0$ 以上のときである（重解も実数解に含める）。

方程式 $(1)$ について

$x$ の係数が $2a$ なので、判別式を $D_1$ とすると
$$\frac{D_1}{4}=a^2-(3a+4)=a^2-3a-4=(a+1)(a-4)$$
よって $(1)$ が実数解をもつ条件は $(a+1)(a-4)\geqq 0$、すなわち
$$a\leqq -1\text{または}a\geqq 4(3)$$

方程式 $(2)$ について

判別式を $D_2$ とすると
$$D_2=(a-2{)}^2-4(a+1)=a^2-4a+4-4a-4=a^2-8a=a(a-8)$$
よって $(2)$ が実数解をもつ条件は $a(a-8)\geqq 0$、すなわち
$$a\leqq 0\text{または}a\geqq 8(4)$$

ちょうど一方だけが実数解をもつ条件

(i) $(1)$ は実数解をもち、$(2)$ は実数解をもたない場合：$(3)$ かつ $0<a<8$ より
$$4\leqq a<8$$

(ii) $(1)$ は実数解をもたず、$(2)$ は実数解をもつ場合：$-1<a<4$ かつ $(4)$ より
$$-1<a\leqq 0$$

(i), (ii) を合わせて、求める範囲は
$$-1<a\leqq 0,4\leqq a<8$$

（確認：$a=-1$ のとき $D_1=0$, $D_2=9>0$ で両方とも実数解をもつので不適。$a=8$ のとき $\frac{D_1}{4}=36>0$, $D_2=0$ で両方とも実数解をもつので不適。$a=0$ では $\frac{D_1}{4}=-4<0$, $D_2=0$、$a=4$ では $D_1=0$, $D_2=-16<0$ で、いずれもちょうど一方だけが実数解をもつので適する。）

(1) の判別式を $D_1$ とすると $D_1/4=a^2-3a-4=(a-4)(a+1)$。実数解をもつ条件は $D_1\ge 0$ より $a\le -1$ または $a\ge 4$。
(2) の判別式 $D_2=(a-2{)}^2-4(a+1)=a^2-8a=a(a-8)$。実数解をもつ条件は $a\le 0$ または $a\ge 8$。

$A$ を (1) が実数解をもつ範囲、$B$ を (2) が実数解をもつ範囲とする。ちょうど一方だけが実数解をもつのは、$A$ と $B$ の一方だけに属するとき。
$A\cap B=(-\infty ,-1]\cup [8,\infty )$、$A\cup B=(-\infty ,0]\cup [4,\infty )$ なので、求める範囲は $(A\cup B)\setminus (A\cap B)$、すなわち $-1<a\le 0$ または $4\le a<8$。

検算: $a=0$ のとき (1) は $x^2+4=0$ で実数解なし、(2) は $x^2+2x+1=0$ で実数解あり。条件を満たす。$a=4$ のとき (1) は $D_1=0$ で実数解あり、(2) は $D_2=-16<0$ で実数解なし。条件を満たす。$a=-1$ と $a=8$ は両方とも実数解をもつので除外。