2次関数の問題

$(1)$, $(2)$ の判別式をそれぞれ $D_1$, $D_2$ とする。

$(1)$ について
$$\frac{D_1}{4}=(-k{)}^2-(k+6)=k^2-k-6=(k+2)(k-3)$$
$(1)$ が実数解をもつ条件は $D_1\geqq 0$、すなわち $(k+2)(k-3)\geqq 0$ より
$$k\leqq -2,3\leqq k$$
である。$(1)$ が実数解をもたない条件は $-2<k<3$ である。

$(2)$ について
$$\frac{D_2}{4}=(k-1{)}^2-(k^2-4)=k^2-2k+1-k^2+4=-2k+5$$
$(2)$ が実数解をもつ条件は $-2k+5\geqq 0$、すなわち $k\leqq \frac{5}{2}$ である。$(2)$ が実数解をもたない条件は $k>\frac{5}{2}$ である。

一方だけが実数解をもつ場合

(ア) $(1)$ が実数解をもち、$(2)$ が実数解をもたないとき:
「$k\leqq -2$ または $3\leqq k$」かつ「$k>\frac{5}{2}$」より $3\leqq k$。

(イ) $(1)$ が実数解をもたず、$(2)$ が実数解をもつとき:
「$-2<k<3$」かつ「$k\leqq \frac{5}{2}$」より $-2<k\leqq \frac{5}{2}$。

(ア)、(イ) を合わせて、求める範囲は
$$-2<k\leqq \frac{5}{2},3\leqq k$$
である。

(確認) $k=-2$ のとき $D_1=0$、$\frac{D_2}{4}=9>0$ で両方が実数解をもつので除外される。$k=\frac{5}{2}$ のとき $D_2=0$、$\frac{D_1}{4}=\frac{9}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)<0$ で一方だけなので含まれる。$k=3$ のとき $D_1=0$、$\frac{D_2}{4}=-1<0$ で一方だけなので含まれる。

(1) の判別式を $D_1$ とすると、$D_1/4=k^2-(k+6)=(k-3)(k+2)$。実数解をもつ条件は $D_1\ge 0$ より $k\le -2,3\le k$。
(2) の判別式を $D_2$ とすると、$D_2/4=(k-1{)}^2-(k^2-4)=-2k+5$。実数解をもつ条件は $D_2\ge 0$ より $k\le \frac{5}{2}$。

(1) が実数解をもつ $k$ の集合を $A$、(2) が実数解をもつ $k$ の集合を $B$ とする。$A=\{k\le -2,k\ge 3\}$、$B=\{k\le 5/2\}$。
一方だけが実数解をもつのは、$A$ と $B$ の一方のみに属する場合である。
- (1) だけ: $A$ に属し $B$ に属さない → $k\ge 3$
- (2) だけ: $B$ に属し $A$ に属さない → $-2<k<3$ かつ $k\le 5/2$ より $-2<k\le \frac{5}{2}$

よって $-2<k\le \frac{5}{2},3\le k$。

検算: $k=-2$ のとき (1) は $D_1=0$、(2) は $D_2/4=9>0$ で両方実数解をもつので除外。$k=5/2$ のとき $D_1/4=(-1/2)(9/2)<0$、$D_2=0$ で (2) だけ実数解をもつので含む。$k=3$ のとき $D_1=0$、$D_2/4=-1<0$ で (1) だけなので含む。$k=0$ のとき $D_1/4=-6<0$、$D_2/4=5>0$ で (2) だけなので条件を満たす。