2つの2次方程式の実数解の条件の組合せ

2つの2次方程式 (1), (2) について、それぞれが実数解をもつ条件 $D_{1} ≧ 0$ , $D_{2} ≧ 0$ を定数 $a$ の範囲に直し、数直線上で「少なくとも一方」「ちょうど一方だけ」「両方」が実数解をもつような $a$ の値の範囲を求められる

前提

2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）

説明

定数 $a$ を含む2つの2次方程式 (1), (2) について、「少なくとも一方が実数解をもつ」「ちょうど一方だけが実数解をもつ」「両方とも実数解をもつ」といった条件を満たす $a$ の範囲を求めます。それぞれの判別式の条件を $a$ の不等式として解き、2つの範囲を数直線上で重ねて読み取ります。条件が「かつ」「または」で組み合わさった問題で使います。

なぜそうしてよいのか

2次方程式 $p x^{2} + q x + r = 0$ $(p \neq = 0)$ が実数解をもつのは、判別式 $D = q^{2} - 4 p r$ が $D ≧ 0$ のときです。 $D = 0$ のときは重解で、これも実数解に含みます。 $x$ の係数が偶数で $q = 2 q^{'}$ と書けるときは、 $D = (2 q^{'})^{2} - 4 p r = 4 (q^{'2} - p r)$ となります。そこで $\frac{D}{4} = q^{'2} - p r$ と定めると、 $\frac{D}{4}$ は $D$ を正の数 $4$ で割ったものなので符号が $D$ と同じです。したがって $D ≧ 0$ の代わりに $\frac{D}{4} ≧ 0$ を調べてもよく、計算が楽になります。

(1) が実数解をもつような $a$ の範囲 $A$ を $D_{1} ≧ 0$ から、(2) が実数解をもつような $a$ の範囲 $B$ を $D_{2} ≧ 0$ から求めます。どちらも $a$ の2次不等式になることが多いので、前提の技能で解けます。あとは言葉を範囲の重ね方に置き換えるだけです。「両方とも実数解をもつ」は $A$ と $B$ の両方に入る部分（共通部分）です。「少なくとも一方が実数解をもつ」は $A$ と $B$ の少なくとも一方に入る部分で、2つの範囲を合わせたものです。「ちょうど一方だけ」は、少なくとも一方には入るが両方には入らない部分、つまり $A$ だけに入る部分と $B$ だけに入る部分を合わせたものです。

数直線に $A$ と $B$ を上下2段に描くと、各点 $a$ で「上の段に入るか」「下の段に入るか」が一目で分かり、条件に合う部分を見落としなく読み取れます。境界の点では等号の有無で入る・入らないが変わるので、1点ずつ確かめます。

手順

(1) の判別式 $D_{1}$ を $a$ の式で表し、 $D_{1} ≧ 0$ を解いて範囲 $A$ を求める。 $x$ の係数が $2 q^{'}$ の形なら $\frac{D _{1}}{4} = q^{'2} - p r$ （ $p$ は $x^{2}$ の係数、 $r$ は定数項）を使ってよい
(2) の判別式 $D_{2}$ を $a$ の式で表し、 $D_{2} ≧ 0$ を解いて範囲 $B$ を求める
数直線上に $A$ と $B$ を上下2段に描く。等号を含む端は黒丸、含まない端は白丸にする
問われている条件に合う部分を読み取る。両方なら「 $A$ と $B$ の重なり」、少なくとも一方なら「 $A$ と $B$ を合わせた部分」、ちょうど一方なら「片方だけに入る部分」
境界の各点について、(1) と (2) がそれぞれ実数解をもつかを直接確かめ、その点を含めるかどうかを決める

例題

2つの2次方程式 $x^{2} + 2 a x + 2 a + 3 = 0$ …(1)、 $x^{2} - a x + a = 0$ …(2) について、一方だけが実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

手順1: (1) の判別式を $D_{1}$ とする。 $D_{1} = (2 a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 a + 3) = 4 (a^{2} - 2 a - 3)$ である。 $x$ の係数が $2 a$ なので $q^{'} = a$ 、定数項は $r = 2 a + 3$ とみて $\frac{D _{1}}{4} = a^{2} - (2 a + 3) = a^{2} - 2 a - 3 = (a + 1) (a - 3)$ としてもよい（結果は同じ）。 $D_{1} ≧ 0$ は $\frac{D _{1}}{4} ≧ 0$ と同じなので $(a + 1) (a - 3) ≧ 0$ より、 $a ≦ - 1, 3 ≦ a$ …①

手順2: (2) の判別式を $D_{2}$ とすると $D_{2} = (- a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot a = a^{2} - 4 a = a (a - 4)$ である。 $D_{2} ≧ 0$ より $a (a - 4) ≧ 0$ なので、 $a ≦ 0, 4 ≦ a$ …②

手順3: 数直線上に①と②を上下2段に描く。①は $- 1$ 以下と $3$ 以上、②は $0$ 以下と $4$ 以上である（端はすべて黒丸）。

手順4: 一方だけが実数解をもつのは、①と②のどちらか片方だけに入る部分である。 $a ≦ - 1$ は①にも②にも入るので除く。 $- 1 < a ≦ 0$ は②だけに入る。 $0 < a < 3$ はどちらにも入らない。 $3 ≦ a < 4$ は①だけに入る。 $4 ≦ a$ は両方に入るので除く。

手順5: 境界を確かめる。 $a = - 1$ のとき $\frac{D _{1}}{4} = 0$ 、 $D_{2} = 5 > 0$ で両方が実数解をもつので、除く。 $a = 0$ のとき $\frac{D _{1}}{4} = - 3 < 0$ 、 $D_{2} = 0$ で (2) だけが実数解をもつので、含む。 $a = 3$ のとき $\frac{D _{1}}{4} = 0$ 、 $D_{2} = - 3 < 0$ で (1) だけが実数解をもつので、含む。 $a = 4$ のとき $\frac{D _{1}}{4} = 5 > 0$ 、 $D_{2} = 0$ で両方が実数解をもつので、除く。

よって求める範囲は $- 1 < a ≦ 0, 3 ≦ a < 4$ である。

答え: $- 1 < a ≦ 0, 3 ≦ a < 4$

よくある誤り

実数解をもつ条件を $D > 0$ としてしまう誤り。 $D = 0$ のときも重解という実数解をもつので、正しくは $D ≧ 0$ 。例えば $\frac{D _{1}}{4} = (a + 1) (a - 3) > 0$ としてしまうと、 $a = - 1, 3$ が抜け落ちる。
$\frac{D}{4}$ を使うとき、 $x$ の係数をそのまま2乗してしまう誤り。(1) で $\frac{D _{1}}{4} = (2 a)^{2} - (2 a + 3)$ とするのは誤りで、正しくは $x$ の係数 $2 a$ の半分 $a$ を使って $\frac{D _{1}}{4} = a^{2} - (2 a + 3)$ 。
「少なくとも一方」で重なり部分（両方が成り立つ部分）を答えてしまう誤り。例題の①②なら、重なりは $a ≦ - 1, 4 ≦ a$ である。正しくは①と②を合わせた部分で $a ≦ 0, 3 ≦ a$ 。
「一方だけ」で、①と②を合わせた部分 $a ≦ 0, 3 ≦ a$ をそのまま答えたり、境界の等号をそのまま引き継いだりする誤り。両方が実数解をもつ部分 $a ≦ - 1, 4 ≦ a$ を除く必要があり、 $a = - 1$ では $\frac{D _{1}}{4} = 0$ 、 $D_{2} = 5 > 0$ で両方が実数解をもつので含めない。正しくは $- 1 < a ≦ 0, 3 ≦ a < 4$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

2つの2次方程式の実数解の条件の組合せ

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