2次関数の問題

$(1)$, $(2)$ の判別式をそれぞれ $D_1$, $D_2$ とする。どちらも $x$ の係数が偶数なので、$\frac{D}{4}=b^{\prime 2}-ac$（$b=2b^{\prime }$）を使う。

$(1)$ が実数解をもつ条件
$$\frac{D_1}{4}=a^2-(a+2)=a^2-a-2=(a+1)(a-2)$$
実数解をもつのは $D_1\geqq 0$ のときなので、$(a+1)(a-2)\geqq 0$ より
$$a\leqq -1,2\leqq a\cdots (3)$$

$(2)$ が実数解をもつ条件
$$\frac{D_2}{4}=(-a{)}^2-(4a-3)=a^2-4a+3=(a-1)(a-3)$$
$D_2\geqq 0$ より $(a-1)(a-3)\geqq 0$ なので
$$a\leqq 1,3\leqq a\cdots (4)$$

少なくとも一方が実数解をもつ条件
「少なくとも一方が実数解をもつ」とは、$(3)$ または $(4)$ が成り立つことである。よって $(3)$ と $(4)$ を数直線上に表し、どちらか一方にでも含まれる範囲（和集合）を求める。

• $a\leqq 1$ の部分：$(4)$ に含まれる（$a\leqq -1$ も含めて全部 $(4)$ に入る）。
• $1<a<2$ の部分：$(3)$ にも $(4)$ にも含まれない。
• $2\leqq a$ の部分：$(3)$ に含まれる（$3\leqq a$ も含めて全部 $(3)$ に入る）。

したがって、求める $a$ の値の範囲は
$$a\leqq 1,2\leqq a$$

（確認：$a=1.5$ のとき $\frac{D_1}{4}=2.5\times (-0.5)<0$, $\frac{D_2}{4}=0.5\times (-1.5)<0$ で、どちらも実数解をもたない。）

(1) の判別式を $D_1$ とすると、$D_1/4=a^2-(a+2)=a^2-a-2=(a+1)(a-2)$。実数解をもつ条件は $D_1\ge 0$ より $a\le -1$ または $a\ge 2$。

(2) の判別式を $D_2$ とすると、$D_2/4=a^2-(4a-3)=a^2-4a+3=(a-1)(a-3)$。実数解をもつ条件は $D_2\ge 0$ より $a\le 1$ または $a\ge 3$。

少なくとも一方が実数解をもつ条件は、この2つの範囲の和集合である。
$(a\le -1,a\ge 2)$ と $(a\le 1,a\ge 3)$ の和集合は $a\le 1$ または $a\ge 2$。

確認：$a=3/2$ のとき $D_1/4=-1.25<0$、$D_2/4=-0.75<0$ で、どちらも実数解をもたない。$a=1$ のとき $D_2=0$ で実数解をもつ。$a=2$ のとき $D_1=0$ で実数解をもつ。よって境界も含む。

したがって $a\le 1$ または $a\ge 2$。