2次関数の問題

$(1)$, $(2)$ の判別式をそれぞれ $D_1$, $D_2$ とします。2 次方程式が実数解をもつのは、判別式が $0$ 以上のときです。

手順 1：$(1)$ が実数解をもつ条件

$x$ の係数が $2a$ なので、$\frac{D_1}{4}$ を使います。
$$\frac{D_1}{4}=a^2-1\cdot (a+2)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)$$
$D_1\geqq 0$ より $(a-2)(a+1)\geqq 0$ なので
$$a\leqq -1,2\leqq a(3)$$

手順 2：$(2)$ が実数解をもつ条件

$x$ の係数が $-2a$ なので、同様に
$$\frac{D_2}{4}=(-a{)}^2-1\cdot (4a-3)=a^2-4a+3=(a-1)(a-3)$$
$D_2\geqq 0$ より $(a-1)(a-3)\geqq 0$ なので
$$a\leqq 1,3\leqq a(4)$$

手順 3：数直線上で組み合わせる

「少なくとも一方が実数解をもつ」とは、$(3)$ または $(4)$ が成り立つことです。つまり、$(3)$ と $(4)$ の範囲を合わせたもの（和集合）を求めます。

数直線上に $(3)$ の範囲（$-1$ 以下と $2$ 以上）と $(4)$ の範囲（$1$ 以下と $3$ 以上）をかくと、
- $a\leqq 1$ の部分は $(4)$ に含まれる（$a\leqq -1$ もこの中に入る）
- $a\geqq 2$ の部分は $(3)$ に含まれる（$a\geqq 3$ もこの中に入る）
- $1<a<2$ の部分はどちらにも含まれない

したがって、求める範囲は
$$a\leqq 1,2\leqq a$$

（確認）両方とも実数解をもたないのは $-1<a<2$ かつ $1<a<3$、すなわち $1<a<2$ のときで、これ以外の範囲が答えとなり、結果は一致します。

(1) の判別式を $D_1$ とすると、$D_1/4=a^2-(a+2)=a^2-a-2=(a+1)(a-2)$。実数解をもつ条件は $D_1\ge 0$ なので、$a\le -1$ または $a\ge 2$。

(2) の判別式を $D_2$ とすると、$D_2/4=a^2-(4a-3)=a^2-4a+3=(a-1)(a-3)$。実数解をもつ条件は $D_2\ge 0$ なので、$a\le 1$ または $a\ge 3$。

少なくとも一方が実数解をもつ条件は、この 2 つの範囲の和集合である。
$(a\le -1,a\ge 2)$ と $(a\le 1,a\ge 3)$ の和は $a\le 1$ または $a\ge 2$。

検算：余事象は両方とも実数解をもたない場合で、$-1<a<2$ かつ $1<a<3$ より $1<a<2$。たとえば $a=1.5$ のとき $D_1/4=-1.25<0$、$D_2/4=-0.75<0$ で、どちらも実数解をもたない。また $a=1$ のとき $D_2/4=0$、$a=2$ のとき $D_1/4=0$ で、境界は含まれる。したがって答えは $a\le 1$ または $a\ge 2$。