2次関数の問題

$f(x)=x^2-2ax+a+6$ とおきます。$y=f(x)$ のグラフは下に凸の放物線です。方程式 $f(x)=0$ の実数解は、このグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標です。

「異なる 2 つの実数解がともに $1$ より大きい」ということは、グラフが $x$ 軸と $x>1$ の部分の異なる 2 点で交わるということです。下に凸の放物線でこうなるための条件は、次の 3 つがすべて成り立つことです。

• $(1)$ 判別式 $D>0$（$x$ 軸と異なる 2 点で交わる）
• $(2)$ 軸が $x=1$ より右にある
• $(3)$ $f(1)>0$（$x=1$ でグラフが $x$ 軸より上にある）

条件 $(1)$
$$\frac{D}{4}=(-a{)}^2-(a+6)=a^2-a-6=(a+2)(a-3)>0$$
よって $a<-2,3<a$ です。

条件 $(2)$
平方完成すると $f(x)=(x-a{)}^2-a^2+a+6$ となるので、軸は直線 $x=a$ です。軸が $x=1$ より右にある条件は
$$a>1$$
です。

条件 $(3)$
$$f(1)=1-2a+a+6=7-a>0$$
よって $a<7$ です。

まとめ
$(1)$ の $a<-2,3<a$、$(2)$ の $a>1$、$(3)$ の $a<7$ の共通範囲を求めます。$a<-2$ は $a>1$ と両立しないので除かれます。残る $3<a$ に $a>1$ と $a<7$ を合わせると
$$3<a<7$$
となります。

（確認：$a=5$ のとき方程式は $x^2-10x+11=0$ で、解は $x=5\pm \sqrt{14}$ です。$\sqrt{14}<4$ より $5-\sqrt{14}>1$ なので、2 つの解はともに $1$ より大きくなっています。）

$f(x)=x^2-2ax+a+6$ とおく。放物線 $y=f(x)$ の軸は $x=a$ である。異なる 2 つの実数解がともに $1$ より大きい条件は次の 3 つである。

(i) 判別式 $D/4=a^2-(a+6)=a^2-a-6=(a-3)(a+2)>0$ より $a<-2,3<a$。
(ii) 軸が $1$ より右にある：$a>1$。
(iii) $f(1)=1-2a+a+6=7-a>0$ より $a<7$。

(i)〜(iii) の共通部分は $3<a<7$ である。

検算：$a=4$ のとき $x^2-8x+10=0$ より $x=4\pm \sqrt{6}$。小さい方は $4-2.449=1.55>1$ なので条件を満たす。$a=7$ のとき $x^2-14x+13=(x-1)(x-13)$ で解の 1 つが $1$ となり不適。$a=3$ のとき重解 $x=3$ で不適。以上から端点は含まれない。