2次関数の問題

$f(x)=x^2-2ax-a+6$ とおく。2 次方程式 $f(x)=0$ の実数解は、放物線 $y=f(x)$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標である。

平方完成すると
$$f(x)=(x-a{)}^2-a^2-a+6$$
なので、$y=f(x)$ のグラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x=a$ である。

「異なる 2 つの実数解がともに $1$ より大きい」とは、グラフが $x$ 軸と $x>1$ の部分の異なる 2 点で交わることである。下に凸の放物線でこうなるための条件は、次の 3 つがすべて成り立つことである。

(1) $x$ 軸と異なる 2 点で交わる（判別式 $D>0$）
$$\frac{D}{4}=(-a{)}^2-1\cdot (-a+6)=a^2+a-6=(a+3)(a-2)>0$$
よって $a<-3,2<a$。

(2) 軸が $x=1$ より右にある
$$a>1$$

(3) 端点 $x=1$ での値が正（$f(1)>0$）
$$f(1)=1-2a-a+6=7-3a>0$$
よって $a<\frac{7}{3}$。

(2) と (3) があることで、2 つの交点がどちらも $x=1$ より右側にくる（軸が右にあり、$x=1$ ではグラフが $x$ 軸より上にあるので、$x=1$ は 2 つの交点の間ではなく左側にある）。

(1), (2), (3) の共通範囲を求めると
$$2<a<\frac{7}{3}$$

（確認：$a=\frac{11}{5}$ のとき方程式は $x^2-\frac{22}{5}x+\frac{19}{5}=0$ で、解はおよそ $1.18,3.22$ となり、ともに $1$ より大きい。）

$f(x)=x^2-2ax-a+6$ とおく。軸は $x=a$。
条件は次の3つ。
(1) 判別式 $D/4=a^2-(-a+6)=a^2+a-6>0$ より $(a+3)(a-2)>0$ なので $a<-3$ または $a>2$。
(2) 軸について $a>1$。
(3) $f(1)=1-2a-a+6=7-3a>0$ より $a<\frac{7}{3}$。
共通範囲は $2<a<\frac{7}{3}$。
検算：$a=2.2$ のとき $x^2-4.4x+3.8=0$。解は $2.2\pm \sqrt{4.84-3.8}=2.2\pm \sqrt{1.04}\approx 2.2\pm 1.02$ で、小さい方は約 $1.18>1$ なので条件を満たす。$a=7/3$ のときは $x=1$ が解になるので除く。