2次関数の問題

$f(x)=x^2-2ax+3a+4$ とおきます。方程式 $f(x)=0$ の実数解は、放物線 $y=f(x)$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標です。

$f(x)$ を平方完成すると
$$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+3a+4$$
となります。$y=f(x)$ のグラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x=a$ です。

「異なる 2 つの実数解がともに $2$ より大きい」とは、グラフが $x$ 軸と $x>2$ の部分の異なる 2 点で交わることです。下に凸の放物線では、次の 3 つの条件が同時に成り立つことと同じです。

(1) 判別式 $D>0$（$x$ 軸と異なる 2 点で交わる）
$$\frac{D}{4}=(-a{)}^2-(3a+4)=a^2-3a-4=(a-4)(a+1)>0$$
より
$$a<-1,4<a$$

(2) 軸が $x=2$ より右にある
$$a>2$$

(3) $f(2)>0$（$x=2$ でグラフが $x$ 軸より上にある）
$$f(2)=4-4a+3a+4=8-a>0$$
より
$$a<8$$

(1)〜(3) の共通範囲を求めます。(1) と (2) から $a>4$ となり、これと (3) を合わせて
$$4<a<8$$

（確認）$a=5$ のとき $x^2-10x+19=0$ の解は $x=5\pm \sqrt{6}$ で、$5-\sqrt{6}>5-3=2$ なので、2 つの解はともに $2$ より大きくなっています。

答え: $4<a<8$

$f(x)=x^2-2ax+3a+4$ とおく。軸は $x=a$。
条件は次の3つ。
(1) 判別式 $D/4=a^2-(3a+4)=a^2-3a-4=(a-4)(a+1)>0$ より $a<-1,4<a$。
(2) 軸 $a>2$。
(3) $f(2)=4-4a+3a+4=8-a>0$ より $a<8$。
共通部分は $4<a<8$。
検算：$a=5$ のとき $x^2-10x+19=0$、$x=5\pm \sqrt{6}$。小さい方は約 $2.55>2$ で適する。$a=8$ のとき $x^2-16x+28=(x-2)(x-14)$ で解の一つが $2$ となり不適。$a=4$ のとき重解となり不適。よって $4<a<8$。