2次関数の問題

$f(x)=x^2-2ax+3a-2$ とおくと、$y=f(x)$ のグラフは下に凸の放物線で、
$$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+3a-2$$
より軸は直線 $x=a$ である。

方程式 $f(x)=0$ が $0<x<3$ の範囲に異なる 2 つの実数解をもつための条件は、グラフが $0<x<3$ の範囲で $x$ 軸と異なる 2 点で交わることであり、次の $(1)$〜$(4)$ がすべて成り立つことである。

$(1)$ 判別式 $D>0$
$$\frac{D}{4}=a^2-(3a-2)=a^2-3a+2=(a-1)(a-2)>0$$
より $a<1$ または $a>2$。

$(2)$ 軸の位置 $0<a<3$。

$(3)$ $f(0)>0$: $f(0)=3a-2>0$ より $a>\frac{2}{3}$。

$(4)$ $f(3)>0$: $f(3)=9-6a+3a-2=7-3a>0$ より $a<\frac{7}{3}$。

$(2)$〜$(4)$ を合わせると $\frac{2}{3}<a<\frac{7}{3}$。これと $(1)$ の共通部分をとると
$$\frac{2}{3}<a<1,2<a<\frac{7}{3}$$
である。

(確認) $a=0.8$ のとき $x^2-1.6x+0.4=0$ の解は約 $0.31,1.29$、$a=2.2$ のとき $x^2-4.4x+4.6=0$ の解は約 $1.71,2.69$ で、いずれも $0<x<3$ に含まれる。

よって求める範囲は $\frac{2}{3}<a<1,2<a<\frac{7}{3}$。

$f(x)=x^2-2ax+3a-2$ とおく。$y=f(x)$ は下に凸の放物線で、軸は $x=a$、$f(0)=3a-2$、$f(3)=7-3a$ である。
異なる 2 つの実数解がともに $0<x<3$ にあるための条件は次の 4 つである。
(i) 判別式 $D/4=a^2-(3a-2)=a^2-3a+2=(a-1)(a-2)>0$ より $a<1$ または $a>2$
(ii) 軸について $0<a<3$
(iii) $f(0)=3a-2>0$ より $a>\frac{2}{3}$
(iv) $f(3)=7-3a>0$ より $a<\frac{7}{3}$
これらの共通範囲は $\frac{2}{3}<a<1$ または $2<a<\frac{7}{3}$ である。
検算: $a=0.9$ のとき解は約 $0.568,1.23$ で条件を満たす。$a=2.2$ のとき解は約 $1.71,2.69$ で条件を満たす。