2次関数の問題

$f(x)=x^2-ax+a^2-3$ とおく。$y=f(x)$ のグラフは下に凸の放物線である。

方程式 $f(x)=0$ が $0<x<1$ と $1<x<2$ に 1 つずつ解をもつための必要十分条件は、グラフが $x=0$ で $x$ 軸より上、$x=1$ で $x$ 軸より下、$x=2$ で $x$ 軸より上にあること、すなわち
$$f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0$$
である（このとき中間値の性質により $0<x<1$、$1<x<2$ にそれぞれ解があり、2 次方程式の解は 2 個以下なので 1 つずつになる。逆に 1 つずつ解をもてば、下に凸より 2 解の間で $f(1)<0$、2 解の外側で $f(0)>0,f(2)>0$ となる）。

$f(0)>0$ について
$$f(0)=a^2-3>0\text{より}a<-\sqrt{3},\sqrt{3}<a\cdots (1)$$

$f(1)<0$ について
$$f(1)=1-a+a^2-3=a^2-a-2=(a+1)(a-2)<0\text{より}-1<a<2\cdots (2)$$

$f(2)>0$ について
$$f(2)=4-2a+a^2-3=a^2-2a+1=(a-1{)}^2>0\text{より}a\ne 1\cdots (3)$$

$(1)$ と $(2)$ の共通部分は、$-\sqrt{3}<-1$ かつ $\sqrt{3}<2$ であることから $\sqrt{3}<a<2$ である。この範囲には $a=1$ は含まれないので $(3)$ も満たされる。

よって求める範囲は
$$\sqrt{3}<a<2$$
である。

（確認）$a=\frac{19}{10}$ のとき $x^2-\frac{19}{10}x+\frac{61}{100}=0$ の解は約 $0.41$ と約 $1.49$ で、条件を満たす。

$f(x)=x^2-ax+a^2-3$ とおく。下に凸の放物線なので、$0<x<1$ と $1<x<2$ に 1 つずつ解をもつ条件は $f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0$ である。

$f(0)=a^2-3>0$ より $a<-\sqrt{3},\sqrt{3}<a$。
$f(1)=a^2-a-2=(a+1)(a-2)<0$ より $-1<a<2$。
$f(2)=a^2-2a+1=(a-1{)}^2>0$ より $a\ne 1$。

これらの共通部分は $\sqrt{3}<a<2$（$a\ne 1$ は自動的に満たされる）。

検算: $a=1.8$ のとき $f(x)=x^2-1.8x+0.24$、$f(0)=0.24>0$、$f(1)=-0.56<0$、$f(2)=0.64>0$ で条件を満たす。$a=\sqrt{3}$ では $f(0)=0$ で解が $x=0$ となり不適、$a=2$ では $f(1)=0$ で解が $x=1$ となり不適。