2次関数の問題

方程式を $a$ について整理する

与えられた方程式を $a$ について整理すると
$$a(x^2-2x+1)=x^2-2,\text{すなわち}a(x-1{)}^2=x^2-2$$
となる。

$x=1$ を代入すると左辺は $0$、右辺は $-1$ となるので、$x=1$ は解にならない。よって、$0<x<3$ の範囲の解は $0<x<1$ または $1<x<3$ の範囲にあり、方程式は
$$a=\frac{x^2-2}{(x-1{)}^2}$$
と同値である。

なお、この方程式の左辺は高々 $2$ 次で、恒等的に $0$ になることはない（$x^2$ の係数と定数項が同時に $0$ にならない）。したがって実数解は高々 $2$ 個である。

置き換えで 2 次関数に直す

$x^2-2=(x-1{)}^2+2(x-1)-1$ であるから
$$\frac{x^2-2}{(x-1{)}^2}=1+\frac{2}{x-1}-\frac{1}{(x-1{)}^2}$$
となる。ここで $u=\frac{1}{x-1}$ とおくと
$$\frac{x^2-2}{(x-1{)}^2}=-u^2+2u+1=-(u-1{)}^2+2$$
である。

対応する範囲は次のとおりである。
- $0<x<1$ のとき、$-1<x-1<0$ より $u<-1$
- $1<x<3$ のとき、$0<x-1<2$ より $u>\frac{1}{2}$

また、$x(\ne 1)$ と $u$ は $x=1+\frac{1}{u}$ により $1$ 対 $1$ に対応する。

よって、$h(u)=-(u-1{)}^2+2$ とおくと、求める条件は次のように言い換えられる。

「$u<-1$ または $u>\frac{1}{2}$ の範囲で、$u$ の方程式 $h(u)=a$ が異なる $2$ つの実数解をもつ」

グラフとの共有点を数える

$y=h(u)$ のグラフは、頂点が $(1,2)$ で上に凸の放物線である。
- $h(-1)=-4+2=-2$
- $h\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}+2=\frac{7}{4}$
- $h(1)=2$

各範囲での $h(u)$ の値のとり方は次のとおりである。
- $u<-1$ では $h(u)$ は単調増加で、$h(u)<-2$ のすべての値を $1$ 回ずつとる。
- $\frac{1}{2}<u\leqq 1$ では単調増加で、$\frac{7}{4}<h(u)\leqq 2$ の値を $1$ 回ずつとる。
- $u\geqq 1$ では単調減少で、$h(u)\leqq 2$ のすべての値を $1$ 回ずつとる。

したがって、直線 $y=a$ との共有点の個数は次のようになる。
- $a<-2$ のとき：$u<-1$ に $1$ 個、$u>1$ に $1$ 個で、計 $2$ 個
- $-2\leqq a\leqq \frac{7}{4}$ のとき：$u>1$ に $1$ 個のみで、$1$ 個
- $\frac{7}{4}<a<2$ のとき：$\frac{1}{2}<u<1$ に $1$ 個、$u>1$ に $1$ 個で、計 $2$ 個
- $a=2$ のとき：$u=1$ のみで、$1$ 個
- $a>2$ のとき：$0$ 個

確認
- $a=1$ のとき、方程式は $-2x+3=0$ となり $x=\frac{3}{2}$ の $1$ 個で、上の結果と一致する。
- $a=-2$ のとき、$-3x^2+4x=0$ より $x=0,\frac{4}{3}$ となり、範囲内は $1$ 個である。
- $a=\frac{7}{4}$ のとき、$3x^2-14x+15=0$ より $(3x-5)(x-3)=0$、すなわち $x=\frac{5}{3},3$ となり、範囲内は $1$ 個である。

いずれも上の結果と一致する。

答え

以上より、求める範囲は
$$a<-2,\frac{7}{4}<a<2$$

$f(x)=(a-1)x^2-2ax+a+2$ とおく。2次方程式であるから $a\ne 1$。

判別式: $D/4=a^2-(a-1)(a+2)=2-a>0$ より $a<2$。

軸: $x=\frac{a}{a-1}$。

(i) $a>1$ のとき（下に凸）。$f(0)=a+2>0$ は成り立つ。$f(3)=9(a-1)-6a+a+2=4a-7>0$ より $a>\frac{7}{4}$。軸 $0<\frac{a}{a-1}<3$ は、$a>1$ なら左側は成立し、右側は $a<3a-3$ より $a>\frac{3}{2}$。$a<2$ と合わせて $\frac{7}{4}<a<2$。

(ii) $a<1$ のとき（上に凸）。$f(0)=a+2<0$ より $a<-2$。$f(3)=4a-7<0$ は成り立つ。軸 $\frac{a}{a-1}$ は $a<0$ で正、また $\frac{a}{a-1}<3$ は $a<\frac{3}{2}$ で成り立つので、$a<-2$ のとき軸は $0<x<3$ にある（実際 $a=-3$ で軸は $\frac{3}{4}$）。$D>0$ も成り立つ。よって $a<-2$。

検算: $a=-3$ のとき $4x^2-6x+1=0$ より $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{4}\approx 0.19,1.31$ で $0<x<3$ を満たす。$a=1.9$ のとき $0.9x^2-3.8x+3.9=0$ で、$D=14.44-14.04=0.4>0$、$x\approx 1.56,2.78$ で適する。

答え: $a<-2$ または $\frac{7}{4}<a<2$。