置き換えによる方程式の解の存在

$(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 a (x^{2} - 2 x) + 8 a = 0$ のような方程式で $t = x^{2} - 2 x$ と置き換え、 $0 ≦ x ≦ 3$ から $t$ のとりうる範囲を求めて、 $t$ の2次方程式の解の配置（または定数の分離）に帰着し、解をもつような $a$ の値の範囲を求められる

前提

2次方程式の解の配置（数学I 2次関数）
定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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2次方程式の解の配置（数学I 2次関数）
定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）

説明

方程式の中に同じかたまり（たとえば $x^{2} - 2 x$ ）が何度も出てくるとき、そのかたまりを $t$ と置くと、4次方程式のような式が $t$ の2次方程式になります。このとき $x$ の範囲から $t$ のとりうる範囲を求めておけば、「元の方程式が解をもつ」という条件を「 $t$ の2次方程式がその範囲に解をもつ」という条件に言い換えられます。あとは2次方程式の解の配置、または定数の分離で、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

なぜそうしてよいのか

$t = x^{2} - 2 x$ と置き、 $x$ が $0 ≦ x ≦ 3$ を動くとします。 $t = (x - 1)^{2} - 1$ なので、 $t$ は $x = 1$ で最小値 $- 1$ 、 $x = 3$ で最大値 $3$ をとります。放物線は途切れずにつながっているので、 $t$ は $- 1$ から $3$ までのすべての値をとります。つまり $- 1 ≦ t ≦ 3$ のどの $t$ に対しても、 $0 ≦ x ≦ 3$ の中に $x^{2} - 2 x = t$ となる $x$ が少なくとも1つあります。逆に、範囲内の $x$ から作った $t$ は必ず $- 1 ≦ t ≦ 3$ に入ります。

したがって、「 $0 ≦ x ≦ 3$ に解 $x$ がある」ことと「 $t$ の方程式が $- 1 ≦ t ≦ 3$ に解 $t$ をもつ」ことは同じ条件です。 $t$ の方程式は2次方程式なので、すでに身につけた解の配置（判別式・軸・端点の値の符号）が使えます。 $a$ を $a = g (t)$ の形に分けられるなら、「直線 $y = a$ と $y = g (t)$ （ $t$ の範囲つき）のグラフが共有点をもつ」と考え、 $g (t)$ の最大・最小から求めることもできます（定数の分離）。

注意として、1つの $t$ に対応する $x$ は1つとは限りません（ $0 ≦ x ≦ 3$ で $t = - 1$ なら $x = 1$ だけですが、 $- 1 < t ≦ 0$ なら $x$ は2つ）。「解をもつかどうか」だけを問う問題では $t$ の範囲だけ分かれば十分です。

手順

式の中で何度も出てくるかたまりを見つけ、 $t$ と置く（例： $t = x^{2} - 2 x$ ）。
$x$ の範囲から $t$ のとりうる範囲を求める。平方完成して、頂点が範囲内にあるかを確認し、頂点と両端の値を比べる（例： $t = (x - 1)^{2} - 1$ , $0 ≦ x ≦ 3$ なら $- 1 ≦ t ≦ 3$ ）。
元の方程式を $t$ の2次方程式に書き直し、「元の方程式が解をもつ ⇔ $t$ の方程式が手順2の範囲に解をもつ」と言い換える。
$a$ を $a = g (t)$ の形に分けられるときは定数の分離：範囲つきの $g (t)$ の最大値・最小値を求め、 $a$ がその間にあればよい。分けにくいときは解の配置： $f (t)$ の端点での値の符号、判別式、軸の位置で場合分けする。
求めた $a$ の範囲をまとめて答える（場合分けしたときは和集合をとる）。

例題

$x$ の方程式 $(x^{2} + 2 x)^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) + a = 0$ が $- 2 ≦ x ≦ 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

手順1： $x^{2} + 2 x$ が2回出てくるので、 $t = x^{2} + 2 x$ と置く。

手順2： $t = (x + 1)^{2} - 1$ 。軸 $x = - 1$ は $- 2 ≦ x ≦ 1$ に含まれるので、最小値は $x = - 1$ のとき $t = - 1$ 。端の値は $x = - 2$ で $t = 0$ 、 $x = 1$ で $t = 3$ だから、最大値は $3$ 。よって $t$ のとりうる範囲は $- 1 ≦ t ≦ 3$ 。

手順3：方程式は $t^{2} - 2 t + a = 0$ となる。元の方程式が $- 2 ≦ x ≦ 1$ に解をもつことは、この $t$ の方程式が $- 1 ≦ t ≦ 3$ に解をもつことと同じ。

手順4： $a$ だけを分けられるので定数の分離を使う。 $a = - t^{2} + 2 t$ と変形し、 $g (t) = - t^{2} + 2 t = - (t - 1)^{2} + 1$ $(- 1 ≦ t ≦ 3)$ とおく。直線 $y = a$ と $y = g (t)$ のグラフが共有点をもつ条件を考える。軸 $t = 1$ は範囲内なので最大値は $g (1) = 1$ 。端の値は $g (- 1) = - 3$ 、 $g (3) = - 3$ なので最小値は $- 3$ 。 $g (t)$ はこの範囲で $- 3$ から $1$ までのすべての値をとる。

手順5：よって求める範囲は $- 3 ≦ a ≦ 1$ 。

答え: $- 3 ≦ a ≦ 1$

よくある誤り

$t$ の範囲を考えずに、 $t$ を任意の実数として「 $t^{2} - 2 t + a = 0$ が実数解をもつ」（判別式 $D /4 = 1 - a ≧ 0$ から $a ≦ 1$ ）としてしまう誤り。正しくは $t$ は $- 1 ≦ t ≦ 3$ に制限されるので、その範囲に解をもつ条件 $- 3 ≦ a ≦ 1$ を求める。
$t$ の範囲を $x$ の端点の値だけで決めてしまう誤り。例えば $t = x^{2} - 2 x$ , $0 ≦ x ≦ 3$ で $t (0) = 0$ , $t (3) = 3$ から $0 ≦ t ≦ 3$ とするのは誤り。正しくは頂点 $x = 1$ が範囲内なので最小値 $- 1$ を含め、 $- 1 ≦ t ≦ 3$ 。
解の個数を問われたときに、 $t$ の解の個数をそのまま $x$ の解の個数としてしまう誤り。例えば $t = x^{2} - 2 x$ , $0 ≦ x ≦ 3$ では、 $t = - 1$ なら $x = 1$ の1個、 $- 1 < t ≦ 0$ なら $x$ は2個、 $0 < t ≦ 3$ なら1個のように、対応する $x$ の個数は $t$ の値によって変わる。
定数の分離で、0 になりうる式で割ってしまう誤り。例えば $t^{2} - 2 a t + 8 a = 0$ を $a = \frac{t ^{2}}{2 ( t - 4 )}$ とするときは $t \neq = 4$ が必要。正しくは、考える $t$ の範囲（例： $- 1 ≦ t ≦ 3$ ）で $t - 4 \neq = 0$ であることを確かめてから割る。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

置き換えによる方程式の解の存在

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