2次関数の問題

手順1：置き換える

$t=x^2-4x$ とおくと、方程式は
$$t^2+2t-a=0\text{すなわち}{t}^2+2t=a(1)$$
となります。

手順2：$t$ のとりうる範囲を求める

$t=x^2-4x=(x-2{)}^2-4$ です。$1\leqq x\leqq 5$ において、頂点 $x=2$ は範囲内にあるので最小値は $x=2$ のとき $t=-4$ です。端の値は $x=1$ のとき $t=1-4=-3$、$x=5$ のとき $t=25-20=5$ なので、最大値は $5$ です。$t$ は $x$ について連続的に変化するので、
$$-4\leqq t\leqq 5$$
のすべての値をとります。

したがって、もとの方程式が $1\leqq x\leqq 5$ に実数解をもつことは、$(1)$ が $-4\leqq t\leqq 5$ の範囲に実数解 $t$ をもつことと同じです（その $t$ に対して、$t=x^2-4x$ となる $x$ が $1\leqq x\leqq 5$ に必ず存在するからです）。

手順3：定数を分離してグラフで考える

$(1)$ の実数解は、$y=t^2+2t(-4\leqq t\leqq 5)$ のグラフと直線 $y=a$ の共有点の $t$ 座標です。
$$y=t^2+2t=(t+1{)}^2-1$$
より、頂点は $(-1,-1)$ で、$t=-1$ は $-4\leqq t\leqq 5$ に含まれます。端の値は
- $t=-4$ のとき $y=16-8=8$
- $t=5$ のとき $y=25+10=35$

よって、$-4\leqq t\leqq 5$ における $y$ の最小値は $-1$、最大値は $35$ で、$y$ は $-1$ 以上 $35$ 以下のすべての値をとります。

直線 $y=a$ がこのグラフと共有点をもつのは $-1\leqq a\leqq 35$ のときです。

答え　$-1\leqq a\leqq 35$

$t=x^2-4x=(x-2{)}^2-4$ とおく。$1\leqq x\leqq 5$ のとき、$x=2$ で最小値 $-4$、$x=1$ で $-3$、$x=5$ で $5$ となるので、$t$ の範囲は $-4\leqq t\leqq 5$ である。また、この範囲の各 $t$ に対して、対応する $x$ が $1\leqq x\leqq 5$ に少なくとも 1 つ存在する。

方程式は $t^2+2t=a$ と書き換えられる。よって、$-4\leqq t\leqq 5$ の範囲で $y=t^2+2t$ のグラフと直線 $y=a$ が共有点をもつ条件を考えればよい。

$f(t)=t^2+2t=(t+1{)}^2-1$ とおく。$t=-1$ で最小値 $-1$ をとる。端点では $f(-4)=16-8=8$、$f(5)=25+10=35$ なので、最大値は $35$ である。$f$ は連続だから、値域は $-1\leqq f(t)\leqq 35$ である。

検算として、$a=-1$ のとき $t=-1$ で $x^2-4x+1=0$ より $x=2\pm \sqrt{3}$ となる。$2-\sqrt{3}\approx 0.27$ は範囲外だが、$2+\sqrt{3}\approx 3.73$ は範囲内である。$a=35$ のとき $t=5$ で $x=5$（範囲内）となる。

よって求める範囲は $-1\leqq a\leqq 35$ である。