2次関数の問題

置き換え $t=x^2-2x$ とおくと、$t=(x-1{)}^2-1$ である。

$0\leqq x\leqq 3$ のとき、$t$ は $x=1$ で最小値 $-1$、$x=3$ で最大値 $3$ をとる。$t$ は $x$ について連続に変化するので、$t$ のとりうる値の範囲は $-1\leqq t\leqq 3$ である。逆に、$-1\leqq t\leqq 3$ を満たすどの $t$ に対しても、$x^2-2x=t$ を満たす $x$ が $0\leqq x\leqq 3$ の範囲に少なくとも 1 つある。

したがって、求める条件は次のように言いかえられる。
$$g(t)=t^2-2at+8a=0\text{ が }-1\leqq t\leqq 3\text{ に少なくとも1つの実数解をもつ}$$

準備 端点での値と判別式を求める。
$$g(-1)=1+2a+8a=10a+1,g(3)=9-6a+8a=2a+9$$
$$g(t)=(t-a{)}^2-a^2+8a$$
より、軸は $t=a$ である。判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=a^2-8a=a(a-8)$$

場合 (1) $g(-1)g(3)\leqq 0$ のとき

$y=g(t)$ のグラフは連続なので、$-1\leqq t\leqq 3$ に必ず解をもつ。
$$(10a+1)(2a+9)\leqq 0⟺-\frac{9}{2}\leqq a\leqq -\frac{1}{10}$$

場合 (2) $g(-1)g(3)>0$ のとき

端点 $t=-1,3$ は解ではない。

• $g(-1)<0$ かつ $g(3)<0$ の場合: 下に凸な放物線が区間の両端で負なので、2 つの解はともに区間の外にあり、条件を満たさない。
• $g(-1)>0$ かつ $g(3)>0$ の場合: 区間内に解をもつのは、2 解（重解を含む）がともに $-1<t<3$ にあるときである。その条件は次の 4 つである。
• $\frac{D}{4}\geqq 0$ より $a\leqq 0$ または $a\geqq 8$
• 軸の位置 $-1<a<3$
• $g(-1)>0$ より $a>-\frac{1}{10}$
• $g(3)>0$ より $a>-\frac{9}{2}$

これらをすべて満たすのは $-\frac{1}{10}<a\leqq 0$ である。

結論 (1)、(2) を合わせると
$$-\frac{9}{2}\leqq a\leqq 0$$

確認
- $a=0$ のとき $g(t)=t^2$ で、$t=0$ から $x=0,2$ となり、範囲内にある。
- $a=-\frac{9}{2}$ のとき $g(3)=0$ で、$t=3$ から $x=3$ となり、範囲内にある。
- $a=-5$ のとき $g(t)=t^2+10t-40$ の解は $t=-5\pm \sqrt{65}$ で、$-5+\sqrt{65}>3$ なので区間外である。範囲外の値で条件を満たさないことと合っている。

答えは $-\frac{9}{2}\leqq a\leqq 0$ である。

$t=x^2-2x=(x-1{)}^2-1$ とおく。$0\leqq x\leqq 3$ のとき $-1\leqq t\leqq 3$ で、この範囲の $t$ の値はすべて対応する $x$ をもつ。よって方程式は $t^2-2at+8a=0$ が $-1\leqq t\leqq 3$ に少なくとも 1 つ解をもつ条件に言い換えられる。

$t^2=2a(t-4)$ と変形する。$t\ne 4$ なので $a=\frac{t^2}{2(t-4)}=g(t)$ とおく。

微分すると $g^{\prime }(t)=\frac{2t(t-4)-t^2}{2(t-4{)}^2}=\frac{t(t-8)}{2(t-4{)}^2}$。
$-1<t<0$ では $g^{\prime }>0$ なので増加し、$0<t<3$ では $g^{\prime }<0$ なので減少する。

端点と極大点の値は $g(-1)=-\frac{1}{10}$, $g(0)=0$, $g(3)=-\frac{9}{2}$。

最大値は $0$、最小値は $-\frac{9}{2}$ である。$g$ は連続なので、値域は $-\frac{9}{2}\leqq a\leqq 0$ となる。

検算：$a=0$ のとき $t=0$ で、$x=0,2$ が解になる。$a=-\frac{9}{2}$ のとき $t=3$ が解で、$9+27-36=0$ となり成り立つ（$x=3$）。