2次関数の問題

$f(x)=x^2-2ax+a+2$ とおく。
$$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+a+2$$
より、$y=f(x)$ のグラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x=a$ である。また
$$f(0)=a+2,f(3)=9-6a+a+2=11-5a$$
である。判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=a^2-(a+2)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)$$
である。

$0<x<3$ に解が少なくとも 1 つある場合を、次の $3$ つに分けて調べる。

(i) $0<x<3$ に 2 つの解（重解を含む）をもつ場合

条件は次の $4$ つである。
- $\frac{D}{4}\ge 0$ より $(a-2)(a+1)\ge 0$、すなわち $a\le -1$ または $a\ge 2$
- 軸について $0<a<3$
- $f(0)>0$ より $a>-2$
- $f(3)>0$ より $a<\frac{11}{5}$

これらをすべて満たす範囲は $2\le a<\frac{11}{5}$ である。

(ii) $0<x<3$ にただ 1 つの解をもち、もう 1 つの解が $x<0$ または $x>3$ にある場合

$f(0)f(3)<0$ が条件である。
$$(a+2)(11-5a)<0⟺(a+2)(5a-11)>0$$
より $a<-2$ または $a>\frac{11}{5}$ である。

(iii) 端点 $x=0$ または $x=3$ が解になる場合

• $f(0)=0$、すなわち $a=-2$ のとき、方程式は $x^2+4x=0$ となる。解は $x=0,-4$ で、どちらも $0<x<3$ にないので不適である。
• $f(3)=0$、すなわち $a=\frac{11}{5}$ のとき、方程式は $x^2-\frac{22}{5}x+\frac{21}{5}=0$ となる。解と係数の関係より、もう 1 つの解は $\frac{22}{5}-3=\frac{7}{5}$ で、$0<\frac{7}{5}<3$ なので適する。

まとめ

(i), (ii), (iii) を合わせると
$$a<-2,2\le a<\frac{11}{5},a=\frac{11}{5},a>\frac{11}{5}$$
となる。よって求める範囲は
$$a<-2,2\le a$$
である。

（確認）$-2<a\le -1$ のとき、$f(0)>0$、$f(3)>0$ で軸 $x=a$ は負なので、2 つの解はともに負である。$-1<a<2$ のときは実数解をもたない。したがってこれらの範囲は確かに不適である。

方程式を $a(2x-1)=x^2+2$ と変形する。$x=1/2$ は左辺が 0、右辺が $9/4$ となり解にならないので、$x\ne 1/2$ として $a=g(x)=\frac{x^2+2}{2x-1}$ とおく。求めるのは、$0<x<3$ の範囲で $g(x)$ がとる値の範囲である。

$g^{\prime }(x)=\frac{2x(2x-1)-2(x^2+2)}{(2x-1{)}^2}=\frac{2(x-2)(x+1)}{(2x-1{)}^2}$。

(i) $1/2<x<3$ のとき：$x\to 1/2+0$ で $g\to +\infty$。$x=2$ まで減少して $g(2)=2$ をとり、その後 $x=3$ まで増加する($g(3)=11/5$、ただし $x=3$ は除く)。よって値域は $[2,\infty )$。

(ii) $0<x<1/2$ のとき：$g^{\prime }<0$ で単調減少。$g(0)=-2$(ただし $x=0$ は除く)、$x\to 1/2-0$ で $g\to -\infty$。よって値域は $(-\infty ,-2)$。

以上より $a<-2$ または $a\ge 2$。

検算：$a=2$ のとき $x^2-4x+4=0$ で $x=2$ は範囲内。$a=-2$ のとき $x^2+4x=0$ で $x=0,-4$ となり範囲外。$a=-3$ のとき $x^2+6x-1=0$ で $x=-3+\sqrt{10}\approx 0.16$ は範囲内。いずれも結果と合う。