2次関数の問題

$f(x)=x^2-2ax+4a-3$ とおく。

異なる 2 つの実数解をもつ条件

判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=a^2-(4a-3)=a^2-4a+3=(a-1)(a-3)>0$$
より $a<1$ または $a>3$ である。

区間の端での値
$$f(1)=1-2a+4a-3=2a-2=2(a-1)$$
$$f(4)=16-8a+4a-3=13-4a$$

$f(1)$ と $f(4)$ がどちらも $0$ でなく同じ符号のとき、$1<x<4$ にある解の個数は $0$ 個か $2$ 個であり、条件を満たさない。したがって、条件を満たすのは次のいずれかの場合である。

$(\mathrm{i})$ $f(1)f(4)<0$ のとき

このとき放物線 $y=f(x)$ は $1<x<4$ でちょうど 1 回 $x$ 軸と交わり、もう一方の解は $1\leqq x\leqq 4$ の外にある。
$$2(a-1)(13-4a)<0⟺(a-1)(4a-13)>0⟺a<1\text{ または }a>\frac{13}{4}$$
このとき $D>0$ も満たされる（$\frac{13}{4}>3$ だから）。

$(\mathrm{ii})$ $f(1)=0$ のとき

$a=1$ であるが、このとき $\frac{D}{4}=0$ となり異なる 2 つの実数解をもたないので不適。

$(\mathrm{iii})$ $f(4)=0$ のとき

$a=\frac{13}{4}$ であり、方程式は
$$x^2-\frac{13}{2}x+10=0⟺2x^2-13x+20=0⟺(x-4)(2x-5)=0$$
となる。解は $x=4,\frac{5}{2}$ で異なる 2 つの実数解であり、$1<x<4$ にあるのは $x=\frac{5}{2}$ のちょうど 1 つだけなので適する。

以上より、求める範囲は
$$a<1,\frac{13}{4}\leqq a$$
である。

（確認）$a=0$ のとき $x^2-3=0$ の解は $\pm \sqrt{3}$ で、$1<\sqrt{3}<4$, $-\sqrt{3}<1$ より適する。$a=\frac{16}{5}$ のとき $f(1)>0$, $f(4)>0$ で、2 つの解はともに $1<x<4$ にあるので不適となり、結果と合う。

$f(x)=x^2-2ax+4a-3$ とおく。異なる 2 実数解をもつ条件は判別式の $\frac{D}{4}=a^2-4a+3=(a-1)(a-3)>0$、すなわち $a<1,3<a$。

$f(1)=2a-2,f(4)=13-4a$。

(i) $f(1)f(4)<0$ のとき、$y=f(x)$ は下に凸なので $1<x<4$ にちょうど 1 つの解をもつ（このとき判別式も自動的に正）。$(2a-2)(13-4a)<0⟺(a-1)(4a-13)>0⟺a<1,a>\frac{13}{4}$。

(ii) $f(1)=0$ のとき $a=1$。このとき $D=0$ で重解 $x=1$ となり、異なる 2 解をもたないので不適。

(iii) $f(4)=0$ のとき $a=\frac{13}{4}$。方程式は $x^2-\frac{13}{2}x+10=0$ で解は $x=4,\frac{5}{2}$。異なる 2 解で、$1<x<4$ にあるのは $\frac{5}{2}$ のみ。よって適する。

(iv) $f(1)f(4)>0$ のときは、異なる 2 解なら $1<x<4$ に含まれる解は 0 個か 2 個なので不適。

以上より $a<1$ または $a\geqq \frac{13}{4}$。

検算: $a=0$ で $x^2-3=0$、解 $\pm \sqrt{3}$ のうち $\sqrt{3}$ のみ $(1,4)$ 内で適。$a=4$ で $x^2-8x+13=0$、解 $4\pm \sqrt{3}$ のうち $4-\sqrt{3}\approx 2.27$ のみ内で適。$a=2$ では $x^2-4x+5=0$ で実数解なし（不適）。$a=3.1$ では $f(1)=4.2>0,f(4)=0.6>0$ で 2 解とも $(1,4)$ 内か外で、不適（解は $3.1\pm \sqrt{0.61}$ の 2 つとも $(1,4)$ 内）。